Wykład 11 Macierze cd. Jeśli macierz ma tyle samo wierszy co kolumn to macierz taką nazywamy macierzą kwadratową. Mówimy, że A jest macierzą stopnia n jeśli ma wymiar n × n. Zbiór wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o współczynnikach z ciała K oznaczać będziemy przez Mn (K). Jeśli A ∈ Mn ...
Odwzorowania liniowe w przestrzeni wektorowej Definicja 1. (odwzorowania liniowego) ( X , K , +, ⋅), (Y , K , +, ⋅) f : X →Y - przestrzenie wektorowe :⇔ jest odwzorowaniem liniowym 1 ∀ x1 , x2 ∈X : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) 2 ∀α∈K : ∀ x∈X : f (α x ) = α ⋅ f ( x ) WNIOSEK: Jeżeli...
Odwzorowania wieloliniowe Formy wieloliniowe Wyznaczniki Przypomnienie: n = {1, 2,..., n} Permutacją zbioru n-elementowego nazywamy każde bijektywne odwzorowanie tego zbioru na siebie Przykład 0. A = {1, 2,3, 4,5} , B = {3, 2,5,1, 4} ...
Wykład 7 Mówimy, że wektor v jest ortogonalny do wektora w jeśli (v|w) = 0 i pioszemy v⊥w. Niech V będzie przestrzenią euklidesową z iloczynem skalarnym (·|·) i niech w1...
Wykład 12 Permutacje Niech X będzie zbiorem. Każdą wzajemnie jednoznaczną funkcję przekształcającą X na X nazywamy permutacją zbioru X. Zbiór wszystkich permutacji zbioru X oznaczamy przez S(X). Uwaga 1 Permutacjami są wszystkie wzajemnie jednoznaczne przekształcenia to znaczy funkcje, które są ...
Wykład 5 Liczby a i b nazywamy względnie pierwszymi jeśli NWD(a, b) = 1. Twierdzenie 1 Liczby a i b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy istnieją liczby całkowite u, v, takie że au + bv = 1. Twierdzenie 2 Równanie a ·n x = 1 ma rozwiązanie w pierścieniu Zn wtedy i tylko wtedy gdy licz...
Wykład 4 Pierścienie Pierścieniem nazywamy niepusty zbiór P wraz z dwoma (binarnymi) działaniami + i · (będziemy często pisać (P, +, ·)) w tym zbiorze, które spełniają następujące aksjomaty. Dla każdych a, b, c ∈ P : (1) Jeśli a, b ∈ P wtedy a + b, a · b ∈ P . (2) a + (b + c) = (a + b) + c. (...
Wykład 5 Pierścienie cd. Twierdzenie 1 Jeśli struktura (P, +, ·) jest pierścieniem to każde równanie a + x = b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód Tym rozwiązaniem jest element x = b − a. Twierdzenie 2 Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde równanie ax = b i ya = b ma dokł...
Wykład 6 W dowolnym pierścieniu można zdefiniować potęgowanie elementów jako an = a · a · · · a. Możemy również zdefiniować potęgę a0 jako 1P (jeśli P n× posiada jedynkę). Dokładnie tak samo jak w pierścieniu liczb całkowitych potęgowanie ma następujące własności: (1) an+m = an · am . (2) anm =...
Wykład 4 Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni. Twierdzenie 1 Niech m, n ∈ Z. Jeśli n 0 to istnieje dokładnie jedna para licz q, r, że: m = qn + r, 0 r 0, wtedy w zbiorze Zn możemy określić działania +n , ·n w następujący sposób: a +n b = (a + b)n a ·n b = (a · b)n a więc sumę i il...
