Wykład 5
Pierścienie cd.
Twierdzenie 1 Jeśli struktura (P, +, ·) jest pierścieniem to każde równanie
a + x = b ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Dowód Tym rozwiązaniem jest element x = b − a.
Twierdzenie 2 Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde
równanie ax = b i ya = b ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Twierdzenie 3 Każde ciało jest dziedziną całkowitości.
Dowód Wystarczy pokazać, że w ciele nie ma dzielników zera. Rzeczywiście
jeśli a = 0P i jeśli ab = 0P to a jest elementem odwracalnym i mamy:
ab = 0P
a−1 (ab) = a−1 0P
(a−1 a)b = 0P
1P b = 0P
b = 0P
a więc jeśli a jest niezerowym elementem ciała to nie istnieje niezerowy element b dla którego ab = 0P .
Twierdzenie 4 Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód Ponieważ P jest zbiorem skończonym to możemy go zapisać w postaci P = {p1 , p2 , . . . , pn }. Niech p będzie dowolnym, niezerowym, elementem
pierścienia P . Rozważmy zbiór P = {pp1 , pp2 , . . . , ppn }. W tym zbiorze elementy się nie powtarzają bo jeśli ppi = ppj to mamy p(pi − pj ) = 0P i
ponieważ p = 0P to z faktu, że P jest dziedziną wynika, że pi − pj = 0. A
więc pi = pj . Zbiór P = {pp1 , pp2 , . . . , ppn } zawiera się w P i ma tyle samo
elementów co P , a więc {pp1 , pp2 , . . . , ppn } = P . Istnieje więc element pi taki,
że ppi = p istnieje również element pj taki, że ppj = pi . Pokażemy, że element
pi jest jedynką pierścienia P . Rzeczywiście dla dowolnego q istnieje również
k, że qpk = q. Zatem q = qppj = qpk , stąd (ponieważ P jest dziedziną) mamy
pi = ppj = pk . Element p jest odwracalny, bo pj jest do niego odwrotny.
1
Izomorfizm pierścieni
Niech (R, +, ·) i (S, +, ·) będą pierścieniami. Będziemy mówić, że funkcja
f jest homomorfizmem pierścienia P w S jeśli:
(i) f : R → S.
(ii) ∀a, b ∈ P f (a + b) = f (a) + f (b), f (ab) = f (a)f (b).
Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją.
Mówimy, że pierścienie są izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm przekształcający jeden pierścień na drugi.
Przykład Rozważmy pierścień P składający się z macierzy
a b
−b a
, a, b ∈ R
oraz pierścień liczb zespolonych wtedy funkcja f : P → C dana wzorem:
f:
a b
−b a
→ a + bi
jest izomorfizmem pierścieni.
Przykład Funkcja g : C → C dana wzorem:
f (a + bi) = a + bi = a − bi
jest izomorfizmem pierścienia C na siebie.
Twierdzenie 5 Jeśli funkcja f : R → S jest homomorfizmem pierścieni to:
(i) f (0R ) = 0S .
(ii) f (−a) = −f (a) dla każdego a ∈ R.
(iii) Jeśli pierścienie R i S mają jedynki 1R i 1S oraz f jest izomorfizmem
to f (1R ) = 1S .
Dowód
(i) Ponieważ 0R = 0R + 0R to mamy:
f (0R ) = f (0R + 0R ) = f (0R ) + f (0R )
a stąd odejmując obustronnie f (0R ) otrzymujemy f (0R ) = 0S .
(ii) Ponieważ 0R = a + (−a) to mamy:
0S = f (0R ) = f (a + (−a)) = f (a) + f (−a)
stąd odejmując stronami f (a) otrzymujemy: f (−a) = −f (a).
2
(iii) Ponieważ f jest suriekcją to istnieje r ∈ R, takie, że f (r) = 1S . Wtedy
mamy:
f (1R ) = f (1R )1S = f (1R · r) = f (r) = 1S
Przykład Pierścienie Z12 oraz Z3 × Z4 są
(…)
…, że w ciele nie ma dzielników zera. Rzeczywiście
jeśli a = 0P i jeśli ab = 0P to a jest elementem odwracalnym i mamy:
ab = 0P
a−1 (ab) = a−1 0P
(a−1 a)b = 0P
1P b = 0P
b = 0P
a więc jeśli a jest niezerowym elementem ciała to nie istnieje niezerowy element b dla którego ab = 0P .
Twierdzenie 4 Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem.
Dowód Ponieważ P jest zbiorem skończonym to możemy go zapisać…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)