Zestaw 10 Piercienie 1. Sprawdzić, że dany zbiór funkcji, względem zwykłego dodawania i mno- żenia tworzy pierścień. Czy pierścień ma jedynkę? (a) {f ∈ C [ a, b ] : f ( a ) = f ( b ) } (b) {f ∈ C [ a, b ] : f ( a ) ∈ Q } (c) {f ∈ C ( a, ∞ ) : lim x→∞ f ( x ) = 0 } (d) {f ∈ C ( a, ∞ ) : ∀a ∈ N f ( n ) = 0 } 2. Czy ( R [ x ] , + , ◦ ) jest pierścieniem? 3. W zbiorze R2 wprowadzamy działania: ( x 1 , y 1) ⊕ ( x 2 , y 2) = ( x 1+ x 2 , y 1+ y 2), ( x 1 , y 1) ⊙ ( x 2 , y 2) = ( x 1 x 2 + py 1 y 2 , x 1 y 2 + x 2 y 1). Dla jakich p ∈ R struktura ( R2 , ⊕, ⊙ ) jest ciałem? 4. Udowodnić, że jeśli A jest niezerowym pierścieniem z 1, to 1 ̸ = 0. 5. Wyznaczyć elementy odwracalne oraz dzielniki zera w Z∗ 6 . 6. Udowodnić, że zbiór elementów odwracalnych U ( A ) pierścienie A z je- dynką tworzy grupę. 7. Wykazać, że jeśli a 2 jest dzielnikiem zera, to a jest dzielnikiem zera, to a jest dzielnikiem zera. 8. Udowodnić, że żaden element odwracalny pierścienia z jedynką nie jest dzielnikiem zera. 9. Wykazać, że jeśli A jest pierścieniem skończonym i bez dzielników zera, to A ma jedynkę i dla każdego a ̸ = 0 istnieje element odwrotny. 10. Niech A będzie pierścieniem z jedynką. Udowodnić, że jeśli ab oraz ba są odwracalne, to a, b są odwracalne. 11. Niech A będzie pierścieniem z jedynką i bez dzielników zera. Udowod- nić, że jeśli ab jest odwracalne, to a, b są odwracalne. 12. Jeśli A jest skończonym pierścieniem z jedynką i dla a ∈ A istnieje b ∈ A taki, że ba = 1, to a jest odwracalny. 13. Udowodnić, że skończony pierścień całkowity jest ciałem. 14. Zbadać, czy dany zbiór B jest podpierścieniem pierścienia ( C [0 , 1] , + , · ) (a) B = {f ∈ C [0 , 2] : f (2) = f (0) } 1 (b) B = {f ∈ C [0 , 1] : ∫ 1 0 f ( x ) dx = 0 } 15. Zbadać, czy dla dowolnych pierścieni A i B z jedynką takich, że A jest podpierścieniem z jedynką pierścienia B oraz a ∈ A jest prawdą: (a) a jest odwracalny w A , to a jest odwracalny w B (b) a jest odwracalny w B , to a jest odwracalny w A 16. Czy każdy niezerowy podpierścień z jedynką ciała jest ciałem? 17. Wykazać, że niezerowy podpierścień A z jedynką pierścienia całkowite- go jest pierścieniem całkowitym. 2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)