Piercienie - zadania

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 980
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Piercienie - zadania - strona 1

Fragment notatki:


Zestaw 10 Piercienie 1. Sprawdzić, że dany zbiór funkcji, względem zwykłego dodawania i mno- żenia tworzy pierścień. Czy pierścień ma jedynkę? (a) {f ∈ C [ a, b ] :  f ( a ) =  f ( b ) } (b) {f ∈ C [ a, b ] :  f ( a )  ∈  Q } (c) {f ∈ C ( a, ∞ ) : lim x→∞ f ( x ) = 0 } (d) {f ∈ C ( a, ∞ ) :  ∀a ∈  N f ( n ) = 0 } 2. Czy ( R [ x ] ,  + , ◦ ) jest pierścieniem? 3. W zbiorze R2 wprowadzamy działania: ( x 1 , y 1) ⊕ ( x 2 , y 2) = ( x 1+ x 2 , y 1+ y 2), ( x 1 , y 1) ⊙  ( x 2 , y 2) = ( x 1 x 2 +  py 1 y 2 , x 1 y 2 +  x 2 y 1). Dla jakich  p ∈  R struktura ( R2 , ⊕, ⊙ ) jest ciałem? 4. Udowodnić, że jeśli  A  jest niezerowym pierścieniem z 1, to 1 ̸ = 0. 5. Wyznaczyć elementy odwracalne oraz dzielniki zera w  Z∗ 6 . 6. Udowodnić, że zbiór elementów odwracalnych  U  ( A ) pierścienie  A  z je- dynką tworzy grupę. 7. Wykazać, że jeśli  a 2 jest dzielnikiem zera, to  a  jest dzielnikiem zera, to a  jest dzielnikiem zera. 8. Udowodnić, że żaden element odwracalny pierścienia z jedynką nie jest dzielnikiem zera. 9. Wykazać, że jeśli  A  jest pierścieniem skończonym i bez dzielników zera, to  A  ma jedynkę i dla każdego  a ̸ = 0 istnieje element odwrotny. 10. Niech  A  będzie pierścieniem z jedynką. Udowodnić, że jeśli  ab  oraz  ba są odwracalne, to  a, b  są odwracalne. 11. Niech  A  będzie pierścieniem z jedynką i bez dzielników zera. Udowod- nić, że jeśli  ab  jest odwracalne, to  a, b  są odwracalne. 12. Jeśli  A  jest skończonym pierścieniem z jedynką i dla  a ∈ A  istnieje b ∈ A  taki, że  ba  = 1, to a jest odwracalny. 13. Udowodnić, że skończony pierścień całkowity jest ciałem. 14. Zbadać, czy dany zbiór  B  jest podpierścieniem pierścienia ( C [0 ,  1] ,  + , · ) (a)  B  = {f ∈ C [0 ,  2] :  f (2) =  f (0) } 1 (b)  B  = {f ∈ C [0 ,  1] : ∫ 1 0  f  ( x ) dx  = 0 } 15. Zbadać, czy dla dowolnych pierścieni  A  i  B  z jedynką takich, że  A  jest podpierścieniem z jedynką pierścienia  B  oraz  a ∈ A  jest prawdą: (a)  a  jest odwracalny w  A , to  a  jest odwracalny w  B (b)  a  jest odwracalny w  B , to  a  jest odwracalny w  A 16. Czy każdy niezerowy podpierścień z jedynką ciała jest ciałem? 17. Wykazać, że niezerowy podpierścień  A  z jedynką pierścienia całkowite- go jest pierścieniem całkowitym. 2 ... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz