Wykład 5 Pierścienie cd. Twierdzenie 1 Jeśli struktura ( P, + , · ) jest pierścieniem to każde równanie a + x = b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód Tym rozwiązaniem jest element x = b − a . Twierdzenie 2 Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde równanie ax = b i ya = b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Twierdzenie 3 Każde ciało jest dziedziną całkowitości. Dowód Wystarczy pokazać, że w ciele nie ma dzielników zera. Rzeczywiście jeśli a = 0 P i jeśli ab = 0 P to a jest elementem odwracalnym i mamy: ab = 0 P a− 1( ab ) = a− 10 P ( a− 1 a ) b = 0 P 1 P b = 0 P b = 0 P a więc jeśli a jest niezerowym elementem ciała to nie istnieje niezerowy ele- ment b dla którego ab = 0 P . Twierdzenie 4 Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem. Dowód Ponieważ P jest zbiorem skończonym to możemy go zapisać w po- staci P = {p 1 , p 2 , . . . , pn} . Niech p będzie dowolnym, niezerowym, elementem pierścienia P . Rozważmy zbiór P = {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn} . W tym zbiorze ele- menty się nie powtarzają bo jeśli ppi = ppj to mamy p ( pi − pj ) = 0 P i ponieważ p = 0 P to z faktu, że P jest dziedziną wynika, że pi − pj = 0. A więc pi = pj . Zbiór P = {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn} zawiera się w P i ma tyle samo elementów co P , a więc {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn} = P . Istnieje więc element pi taki, że ppi = p istnieje również element pj taki, że ppj = pi . Pokażemy, że element pi jest jedynką pierścienia P . Rzeczywiście dla dowolnego q istnieje również k , że qpk = q . Zatem q = qppj = qpk , stąd (ponieważ P jest dziedziną) mamy pi = ppj = pk . Element p jest odwracalny, bo pj jest do niego odwrotny. 1 Izomorfizm pierścieni Niech ( R, + , · ) i ( S, + , · ) będą pierścieniami. Będziemy mówić, że funkcja f jest homomorfizmem pierścienia P w S jeśli: (i) f : R → S . (ii) ∀a, b ∈ P f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) , f ( ab ) = f ( a ) f ( b ). Izomorfizmem pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją. Mówimy, że pierścienie są izomorficzne jeśli istnieje izomorfizm przekształ- cający jeden pierścień na drugi. Przykład Rozważmy pierścień P składający się z macierzy a b −b a , a, b ∈ R oraz pierścień liczb zespolonych wtedy funkcja f : P → C dana wzorem: f : a b −b a → a + bi jest izomorfizmem pierścieni.
(…)
…
mnożenia macierzy jest pierścieniem. Pierścień ten posiada element neutralny
mnożenia I ( a więc jest to przykład pierścienia z jedynką). Jeśli n > 1 to
pierścień ten jest nieprzemienny.
Podobnie można rozpatrywać pierścienie macierzy o współczynnikach całkowitych (Mn (Z)), wymiernych (Mn (Q)), lub o współczynnikach z pierścienia
Zk czyli o pierścieniu Mn (Zk ).
Przykład Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych, które przekształcających
R w R. Wtedy funkcje można dodawać i mnożyć:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(f g)(x) = f (x)g(x)
Można udowodnić, że suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,
a więc struktura (C, +, ·) jest pierścieniem. Jest to pierścień przemienny z
jedynką. Pierścień ten jest podpierścieniem pierścienia wszystkich funkcji,
które przekształcają R w R.
Mówimy, że przemienny…
…) + c) = (a +n b) +n c
Inne własności pokazuje się podobnie. Elementem neutralnym dodawania jest
0, mnożenia jest 1. Elementem przeciwnym do a ∈ Zn jest n − a.
Działania +n , ·n nazywa się zwykle dodawaniem i mnożeniem modulo n,
a pierścień (Zn , +n , ·n ) pierścieniem reszt modulo n. Można też zdefiniować
potęgowanie np. a2 w Zn rozumiemy jako a ·n a itd... W sensie pierścienia Zn
możemy formalnie…
…) a + (b + c) = (a + b) + c.
(3) a + b = b + a.
(4) Istnieje element 0P ∈ P , taki że dla każdego a ∈ P mamy a + 0P =
0P + a = a.
(5) Dla każdego elementu a ∈ P równanie a + x = 0P ma rozwiązanie w P .
(6) a(bc) = (ab)c.
(7) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc.
Element 0P nazywać będziemy elementem neutralnym dodawania lub w
skrócie zerem pierścienia. Rozwiązanie równania a + x = 0P nazywać będziemy…
….
Element a ∈ P pierścienia z jedynką (P, +, ·) nazywamy odwracalnym
jeśli
(12) Równanie a · x = x · a = 1P ma rozwiązanie.
Element, który jest rozwiązaniem tego równania nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy go przez a−1 .
Mówimy, że pierścień z jedynką (P, +, ·) jest pierścieniem z dzieleniem
jeśli każdy niezerowy element pierścienia P jest odwracalny. Na przykład
(Z, +, ·) nie jest pierścieniem…
….
Pierścienie wielomianów
Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach
z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:
a0 + a1 x + . . . + an x n
gdzie ai ∈ P . Każdy element ai nazywamy współczynnikami tego wielomianu,
a element x nazywamy zmienną. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formalny nie jako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów
jednej zmiennej x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)