Pierścienie 1-5

Nasza ocena:

5
Pobrań: 343
Wyświetleń: 1680
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pierścienie 1-5 - strona 1 Pierścienie 1-5 - strona 2 Pierścienie 1-5 - strona 3

Fragment notatki:


Wykład 5 Pierścienie cd. Twierdzenie 1  Jeśli struktura  ( P,  + , · )  jest pierścieniem to każde równanie a  +  x  =  b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dowód  Tym rozwiązaniem jest element  x  =  b − a . Twierdzenie 2  Jeśli element a jest odwracalny w pierścieniu P to każde równanie ax  =  b i ya  =  b ma dokładnie jedno rozwiązanie. Twierdzenie 3  Każde ciało jest dziedziną całkowitości. Dowód  Wystarczy pokazać, że w ciele nie ma dzielników zera. Rzeczywiście jeśli  a  = 0 P  i jeśli  ab  = 0 P  to  a  jest elementem odwracalnym i mamy: ab  = 0 P a− 1( ab ) =  a− 10 P ( a− 1 a ) b  = 0 P 1 P b  = 0 P b  = 0 P a więc jeśli  a  jest niezerowym elementem ciała to nie istnieje niezerowy ele- ment  b  dla którego  ab  = 0 P  . Twierdzenie 4  Każda skończona dziedzina całkowitości jest ciałem. Dowód  Ponieważ  P  jest zbiorem skończonym to możemy go zapisać w po- staci  P  =  {p 1 , p 2 , . . . , pn} . Niech  p  będzie dowolnym, niezerowym, elementem pierścienia  P  . Rozważmy zbiór  P  =  {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn} . W tym zbiorze ele- menty się nie powtarzają bo jeśli  ppi  =  ppj  to mamy  p ( pi − pj ) = 0 P  i ponieważ  p  = 0 P  to z faktu, że  P  jest dziedziną wynika, że  pi − pj  = 0. A więc  pi  =  pj . Zbiór  P  =  {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn}  zawiera się w  P  i ma tyle samo elementów co  P  , a więc  {pp 1 , pp 2 , . . . , ppn}  =  P  . Istnieje więc element  pi  taki, że  ppi  =  p  istnieje również element  pj  taki, że  ppj  =  pi . Pokażemy, że element pi  jest jedynką pierścienia  P  . Rzeczywiście dla dowolnego  q  istnieje również k , że  qpk  =  q . Zatem  q  =  qppj  =  qpk , stąd (ponieważ  P  jest dziedziną) mamy pi  =  ppj  =  pk . Element  p  jest odwracalny, bo  pj  jest do niego odwrotny. 1 Izomorfizm pierścieni Niech ( R,  + , · ) i ( S,  + , · ) będą pierścieniami. Będziemy mówić, że funkcja f  jest  homomorfizmem  pierścienia  P  w  S  jeśli: (i)  f  :  R → S . (ii)  ∀a, b ∈ P f  ( a  +  b ) =  f  ( a ) +  f  ( b ) , f  ( ab ) =  f  ( a ) f  ( b ). Izomorfizmem  pierścieni nazywamy homomorfizm, który jest bijekcją. Mówimy, że pierścienie są  izomorficzne  jeśli istnieje izomorfizm przekształ- cający jeden pierścień na drugi. Przykład  Rozważmy pierścień  P  składający się z macierzy a b −b a , a, b ∈  R oraz pierścień liczb zespolonych wtedy funkcja  f  :  P →  C dana wzorem: f  : a b −b a → a  +  bi jest izomorfizmem pierścieni.

(…)


mnożenia macierzy jest pierścieniem. Pierścień ten posiada element neutralny
mnożenia I ( a więc jest to przykład pierścienia z jedynką). Jeśli n > 1 to
pierścień ten jest nieprzemienny.
Podobnie można rozpatrywać pierścienie macierzy o współczynnikach całkowitych (Mn (Z)), wymiernych (Mn (Q)), lub o współczynnikach z pierścienia
Zk czyli o pierścieniu Mn (Zk ).
Przykład Niech C oznacza zbiór funkcji ciągłych, które przekształcających
R w R. Wtedy funkcje można dodawać i mnożyć:
(f + g)(x) = f (x) + g(x),
(f g)(x) = f (x)g(x)
Można udowodnić, że suma i iloczyn funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą,
a więc struktura (C, +, ·) jest pierścieniem. Jest to pierścień przemienny z
jedynką. Pierścień ten jest podpierścieniem pierścienia wszystkich funkcji,
które przekształcają R w R.
Mówimy, że przemienny…
…) + c) = (a +n b) +n c
Inne własności pokazuje się podobnie. Elementem neutralnym dodawania jest
0, mnożenia jest 1. Elementem przeciwnym do a ∈ Zn jest n − a.
Działania +n , ·n nazywa się zwykle dodawaniem i mnożeniem modulo n,
a pierścień (Zn , +n , ·n ) pierścieniem reszt modulo n. Można też zdefiniować
potęgowanie np. a2 w Zn rozumiemy jako a ·n a itd... W sensie pierścienia Zn
możemy formalnie…
…) a + (b + c) = (a + b) + c.
(3) a + b = b + a.
(4) Istnieje element 0P ∈ P , taki że dla każdego a ∈ P mamy a + 0P =
0P + a = a.
(5) Dla każdego elementu a ∈ P równanie a + x = 0P ma rozwiązanie w P .
(6) a(bc) = (ab)c.
(7) a(b + c) = ab + ac, (a + b)c = ac + bc.
Element 0P nazywać będziemy elementem neutralnym dodawania lub w
skrócie zerem pierścienia. Rozwiązanie równania a + x = 0P nazywać będziemy…
….
Element a ∈ P pierścienia z jedynką (P, +, ·) nazywamy odwracalnym
jeśli
(12) Równanie a · x = x · a = 1P ma rozwiązanie.
Element, który jest rozwiązaniem tego równania nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy go przez a−1 .
Mówimy, że pierścień z jedynką (P, +, ·) jest pierścieniem z dzieleniem
jeśli każdy niezerowy element pierścienia P jest odwracalny. Na przykład
(Z, +, ·) nie jest pierścieniem…
….
Pierścienie wielomianów
Niech P będzie pewnym pierścieniem. Wielomianem o współczynnikach
z pierścienia P nazywamy wyrażenie postaci:
a0 + a1 x + . . . + an x n
gdzie ai ∈ P . Każdy element ai nazywamy współczynnikami tego wielomianu,
a element x nazywamy zmienną. Wyrażenia te rozumiemy w sposób formalny nie jako funkcje ale jako napisy formalne. Zbiór wszystkich wielomianów
jednej zmiennej x…
... zobacz całą notatkę



Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz