Wykład 5
Liczby a i b nazywamy względnie pierwszymi jeśli NWD(a, b) = 1.
Twierdzenie 1 Liczby a i b są względnie pierwsze wtedy i tylko wtedy gdy
istnieją liczby całkowite u, v, takie że au + bv = 1.
Twierdzenie 2 Równanie a ·n x = 1 ma rozwiązanie w pierścieniu Zn wtedy
i tylko wtedy gdy liczby a i n są względnie pierwsze. Inaczej mówiąc liczba a
jest odwracalna względem ·n wtedy i tylko wtedy gdy liczby a i n są względnie
pierwsze.
Dowód Jeśli NWD(a, n) = 1 to zgodnie z powyższym Twierdzeniem istnieją
liczby całkowite u, v takie, że au + bv = 1 wtedy stosując funkcję fn otrzymujemy: fn (au + bv) = fn (1) = 1, stąd fn (a) ·n fn (u) = 1, a więc liczba a
jest odwracalna modulo n. Jeśli teraz liczba a jest odwracalna modulo n to
istnieje b, że a ·n b = 1 i a · b − 1 = 0 to oznacza, że n|(ab − 1), a więc istnieje
k, że ab − 1 = kn, zatem równanie ax + ny = 1 ma rozwiązanie, a to oznacza,
że liczby a i n są względnie pierwsze.
Zadanie Znaleźć liczbę odwrotną do 15 w Z37 .
Rozwiązanie Ponieważ liczby 15 i 37 są względnie pierwsze to liczba 15
jest odwracalna w Z37 . Musimy rozwiązać równanie 15x + 37y = 1, a więc
korzystamy z algorytmu Euklidesa:
37 = 2 · 15 + 7
15 = 2 · 7 + 1
7=7·1+0
a więc mamy: 1 = 15 − 2 · 7 = 15 − 2(37 − 2 · 15) = 5 · 15 − 2 · 37. To oznacza,
że liczbą odwrotną do 15 w Z37 jest 5.
Element x ∈ R nazywamy dzielnikiem zera jeśli x = 0 i istnieje 0 = y ∈ R,
że x y = 0.
Przykład Pierścień (Z, +, ·) jest pierścieniem bez dzielników zera. Natomiast
w pierścieniu (Z4 , +4 , ·4 ) element 2 jest dzielnikiem 0.
Element u ∈ R pierścienia z jednością nazywamy elementem odwracalnym jeśli jest odwracalny względem , a więc:
∃u ∈ R u
u =u
u = 1.
Zbiór wszystkich elementów odwracalnych oznaczamy przez R∗ .
Przykład W pierścieniu Z8 elementy 1, 3, 5, 7 są odwracalne, bo 3 ·8 3 = 1,
5 ·8 5 = 1, 7 ·8 7 = 1.
Jak stwierdziliśmy powyżej, w pierścieniu Zn , odwracalne są te elementy
a dla, których NWD(a, n) = 1.
1
Twierdzenie 3 Jeśli (R, ⊕, ) jest pierścieniem z jednością to (R∗ , ) jest
grupą.
Pierścień (R, ⊕, ) przemienny z jednością nazywamy ciałem jeśli R ma
co najmniej dwa elementy i R∗ = R − {0}, tzn. każdy niezerowy element jest
odwracalny.
Przykłady
1. (Z, +, ·) nie jest ciałem, bo Z∗ = {1, −1},
2. (R, +, ·) jest ciałem,
3. (Z2 , +2 , ·2 ) jest ciałem,
∗
4. (Z4 , +4 , ·4 ) nie jest ciałem, bo Z4 = {1, 3} = Z4 − {0}.
Twierdzenie 4 W ciele nie ma dzielników zera.
Dowód Jeśli R jest ciałem i a, b ∈ R są elementami, takimi że a = 0 i
ab = 0
to istnieje a−1 . Mnożąc równanie obustronnie przez a−1 otrzymujemy:
a−1 ab = 0
Stąd b = 0.
Niech p ∈ Z, mówimy, że p jest liczbą pierwszą jeśli p jest podzielna tylko
przez 1 i przez siebie.
Twierdzenie 5 Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to Zn nie jest ciałem.
Dowód Jeśli n nie jest liczbą pierwszą to istnieją k = 1, l = 1, takie że
n = kl. Wtedy k jest dzielnikiem zera w pierścieniu Zn .
Twierdzenie 6 Pierścień (Zn , +n , ·n ) jest ciałem wtedy i tylko wtedy gdy n
jest liczbą pierwszą.
2
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)