4.2 Różniczka funkcji Rozpatrujemy funkcję f → A , A ⊂ R. Niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost: ∆x = x − x0 taki, że x = x0 + ∆x również należy do A. Definicja 4.8 (Różniczki funkcji) Niech funkcja ...
Twierdzenie 7.4 (Istnienie i jednoznaczność rozwiązań) Jeżeli funkcje a0 , a1 , . . . , an−1 , q są ciągłe na przedziale (a, b) oraz x0 ∈ (a, b) , yi ∈ R, to zagadnienie początkowe (Ln ) (W Ln ) ma dokładnie jedno rozwiązanie. Rozwiązanie to określone jest na przedziale (a, b). Przykład 7.11 Uza...
7 7.1 Równania rożniczkowe zwyczajne Pojęcia wstępne Definicja 7.1 (Równanie różniczkowe, rząd równania) Niech dana będzie funkcja (n + 2). zmiennych F : A → R , A ⊂ Rn+2 . Równanie postaci: F (x, y, y ′ , y”, . . . , y (n) ) = 0 nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n. Definicja ...
Uwaga 4.5 Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange’a. W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina: n f (x) = f (0) + f (k) (0) k f (n+1) (θx) n+1 x + x , k! (n + 1)! k=1 θ ∈ (0, 1...
Przykład 2.9 √ 1. Ciągi {n} , {n2 } , { n} , {log n} są rozbieżne do +∞ ; 1 2. Ciągi {−n} , {−n5 } , {log n } są rozbieżne do −∞ ; 3. Ciągi {(−1)n } , {(−2)n } nie są ani zbieżne, ani rozbieżne do +∞ lub −∞ . Są to ciągi rozbieżne. Pierwszy jest ograniczony, drugi nie. Opuszczając niektóre w...
Przykład 4.25 Zbadać istnienie ekstremów lokalnych funkcji: f (x) = (sinh x)2 , g(x) = − cosh x . 4.6 Wklęsłość i wypukłość funkcji. Punkty przegięcia Definicja 4.11 ( Zbioru wypukłego ) Niech X będzie przestrzenią wektorową nad cia...
PODSTAWY ANALIZY materiały pomocnicze do wykładu 2006/07 Jest to konspekt wykładu z analizy matematycznej dla 1. semestru studiów na Wydziale Inżynierii Lądowej. Został on przygotowany w dwóch celach: 1. żeby słuchacze nie musieli wszystkiego przepisywać z tablicy, a mogli więcej uwagi poświę...
Def.granicy ciągu. Punkt a∈A nazyw.granicą ciągu (a ) [co zapis. lim a =a lub a →a ], jeśli dow.otocz.U(a) punktu a zawiera prawie wszystkie wyrazy ciągu (a ).Lim a =a ⇔∀ε0 ∃ δ0 ∀nδ d(a ,a)0 ∀n∈N d(a ,a)0 ∀n,k∈N d(a ,a)0 ∀n∈N d(a ,a )≤ M Tw.Bolzano-Weierstrassa. Każdy ciąg ogranicz.posiada co najmn...
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y stosujemy podstawienie == po zróżniczkowaniu i po podstawieniu do równania RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU Przypadek I : a1b2 - b1a2 ≠ 0 Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=α i y=β Wprowadzamy nowe zmienne : x - α = u; y - β = v Równanie różniczkowe...
' 3 . ; ( 3 4 = - # $ 5 ' , # 0% , = & # & ) # (#( %)*+%, -(* # ) ( !23 " %$ .( / %+ ! / . 0 %( . ) # -* %+ ! # 6 0 $ # ' # 7$ # $ 7$ . # $ . # ( (#) *#+ ,#, 23 5# $ -#. .#* /#0 / 7$ 1 8 3 ' - 49 $ $ ! % ( # $ , "4 ...
