To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Uwaga 4.5
Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze
nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange’a.
W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina:
n
f (x) = f (0) +
f (k) (0) k f (n+1) (θx) n+1
x +
x
,
k!
(n + 1)!
k=1
θ ∈ (0, 1)
Przykład 4.20 Wykazać, że:
n
a) (∀x ∈ R) (∃θ ∈ (0, 1)) ex = 1 +
xn+1
xk
+ eθx
k!
(n + 1)!
k=1
n
b) (∀x ∈ R+ ) (∃θ ∈ (0, 1))
(−1)k−1
ln(1 + x) =
k=1
4.4
xk
xn+1
+ (−1)n
k
(n + 1) (1 + θx)n+1
Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
Wyrażenia nieoznaczone typu
0
0
i
∞
∞
Twierdzenie 4.10 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności 0 )
0
′
Niech funkcje f, g, f , f ′ będą określone w zbiorze (x0 −δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ) oraz spełniają
g g
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = 0
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
∞
Twierdzenie 4.11 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności ∞ )
′
Niech funkcje f, g, f , f ′ będą określone w zbiorze (x0 −δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ) oraz spełniają
g g
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
Uwaga 4.6 Powyższe dwa twierdzenia są prawdziwe także dla granic jednostronnych w
punkcie x0 oraz dla granic w −∞ i +∞.
Przykład 4.21 Znaleźć granice:
ln(1 + x)
x→0
x
a) lim
x − sin x
x→0
x3
b) lim
26
x2
x→∞ ex
c) lim
Przykład 4.22 Obliczyć podane granice. Czy można tu zastosować regułę de l’Hospitala?
a) lim
x→∞
x + cos2x
x − cosx
1
x2 sin x
x→0 sinx
b) lim
Inne typy nieoznaczoność: 0 · ∞, ∞ − ∞, 00 , ∞0 , 1∞
Jeżeli jeden z wyrazów iloczynu f (x) g(x) dąży do zera a drugi do nieskończoności, to
mówimy o nieoznaczoności (0 · ∞) . Jeśli w wyrażeniu f (x) − g(x) obydwie funkcje dążą
do +∞ lub −∞ , to nieoznaczoność jest typu ( ∞ − ∞ ). W wyrażeniach postaci f (x)g(x)
występują nieoznaczoności typu 00 , ∞0 , 1∞ .
Uwaga 4.7 Przy badaniu granic wyrażeń postaci f (x)g(x) , f (x) 0 należy skorzystać
z tożsamości
f (x)g(x) = eg(x) ln f (x)
Przykład 4.23 Znaleźć granice:
1. lim x ln x
x→0+
2. lim
x→0
1
x2
−
sin x
x3
3. lim xx
x→0+
4. lim (ctg x)x
x→0+
5. lim
x→∞
4.5
2
π
arctgx
x
Ekstrema funkcji
Niech funkcja f będzie określona przynajmniej w pewnym otoczeniu punktu x0 .
Definicja 4.10
• Funkcja f ma w punkcie x0 minimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie tego
punktu (x0 − δ, x0 + δ), δ 0 , że dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 , x0 + δ)
f (x0 )
f (x)
(3)
• Funkcja f ma w punkcie x0 maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie
punktu (x0 − δ, x0 + δ), δ 0 , że dla każdego x ∈ (x0 − δ, x0 , x0 + δ)
f (x0 )
f (x)
Minima i maksima lokalne nazywamy ekstremami lokalnymi.
Jeżeli nierówności są ostre, to ekstema lokalne nazywamy właściwymi.
27
(4)
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)