7
7.1
Równania rożniczkowe zwyczajne
Pojęcia wstępne
Definicja 7.1 (Równanie różniczkowe, rząd równania)
Niech dana będzie funkcja (n + 2). zmiennych F : A → R , A ⊂ Rn+2 .
Równanie postaci:
F (x, y, y ′ , y”, . . . , y (n) ) = 0
nazywamy równaniem różniczkowym zwyczajnym rzędu n.
Definicja 7.2 (Rozwiązanie równania różniczkowego)
Funkcję g ∈ D(n) (a, b) nazywamy rozwiązaniem równania różniczkowego , jeżeli
(∀x ∈ (a, b)) F (x, y ′ (x), y”(x), . . . , y (n) (x)) = 0
Rozwiązanie równania różniczkowego nazywamy również całką równania różniczkowego.
Wykres rozwiązania równania różniczkowego nazywamy jego krzywą całkową.
Przykład 7.1 Sprawdzić, czy podane funkcje są całkami wskazanych równań na zadanych
przedziałach:
a) y1 (x) = e−x , y2 (x) = xe−x ,
y” + 2y ′ + y = 0 ,
x∈R
1
,
y ′ + 2xy 2 = 0 , x ∈ R
1 + x2
c) y1 (x) = cos x, y2 (x) = sin x ,
y” + y = 0 , x ∈ R
1
,
xy ′ − y 2 = 0 , x ∈ (1, e)
d) y(x) =
1 − ln x
b) y(x) =
7.2
Równania różniczkowe pierwszego rzędu
Rozważamy równania pierwszego rzędu w postaci normalnej,(to znaczy rozwiązane
względem pochodnej)
y ′ = f (x, y) (∗)
Uwaga 7.1 Będziemy się posługiwali również tzw. formą różniczkową równania:
P (x, y) dx + Q(x, y) dy = 0
Przykład 7.2 Sprawdzić, że rozwiązaniem równania:
(3 + x2 + y) dx + (x + y + 1) dy = 0
jest funkcja określona dla wszystkich x ∈ R zależnością:
x3
3
+
y2
2
+ xy + y + 3x = 1
Definicja 7.3 (Zagadnienie początkowe)
Równanie różniczkowe y ′ = f (x, y) (∗) oraz warunek
y(x0 ) = y0
(∗∗)
nazywamy zagadnieniem początkowym lub zagadnieniem Cauchy’ego. Warunek
(**) nazywamy warunkiem początkowym.
47
Przykład 7.3 Rozpatrzmy przykłady zagadnień początkowych:
y ′ = e−x
y(0) = 2
a)
b)
y ′ = 2 |y|
y(0) = 0
y ′ = f (y)
y(0) = −1
c)
, gdzie f (y) =
y ln y dla y 0
0 dla y = 0
Rozwiązanie zagadnienia Cauchy’ego dla równania pierwszego rzędu (*) polega na
znalezieniu rozwiązania tego równania w pewnym przedziale I ⊂ R, które spełnia warunek
początkowy (**).
Istnieją równania różniczkowe, które nie mają rozwiązań.
Jeżeli równanie posiada rozwiązanie, to nie zawsze istnieje takie, które spełnia z góry
zadany warunek początkowy (c). Ponadto może się zdarzyć, że istnieją różne rozwiązania
jednego równania różniczkowego, spełniające ten sam warunek początkowy (b).
Twierdzenie 7.1 (Istnienie i jednoznaczość rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego)
Jeżeli funkcja f : D → R i jej pochodna
(x0 , y0 ) ∈ D, to zagadnienie Cauchy’ego
δf
δy
są ciągłe na pewnym obszarze D ⊂ R2 oraz
y ′ = f (x, y)
y(x0 ) = y0
ma dokładnie jedno rozwiązanie.
Uwaga 7.2 Inaczej mówiąc, dla dowolnego punktu (x0 , y0 ) ∈ D istnieje dokladnie jedna
krzywa całkowa przechodząca przez ten punkt.
Przykład 7.4 Korzystając z podanego wyżej twierdzenia uzasadnić, że wskazane zagadnienia początkowe mają jednoznaczne rozwiązania:
a)
7.3
x2 y ′ + y 2 = 0
y(1) = 1
b)
√
dy = y − x dx
y(1) = 2
c)
y ′ − y ctgx = sin x
y( π ) = π
2
2
Metody rozwiązywania niektórych równań różniczkowych pierwszego rzędu
1. Równanie o zmiennych rozdzielonych
Definicja 7.4 (Równanie o zmiennych rozdzielonych)
Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci:
y ′ = g(x)h(y)
nazywamy równaniem o zmiennych rozdzielonych.
Twierdzenie 7.2 (Rozwiązanie równania o zmiennych rozdzielonych)
Jeżeli funkcje g, h są ciągłe, przy czym h(y) = 0 dla każdego y, to rozwiązanie
równania różniczkowego o zmiennych rozdzielonych określone jest zależnością:
dy
=
h(y)
48
g(x) dx
Dowód:
W formie różniczkowej równanie o zmiennych rozdzielonych przyjmuje postać
dy
= g(x)dx
h(y)
Rozwiązanie równania y = y(x)ma spełniać zależność:
y ′ (x)dx
= g(x)dx
h(y(x))
Po scałkowaniu i zastosowaniu twierdzenia o całkowaniu przez podstawienie otrzymujemy tezę.
♥
Przykład 7.5 Rozwiązać równania o zmiennych rozdzielonych:
1
y′
a) √ =
y
x ln x
b) (1 + x + y + xy) y ′ = 1
2. Równania różniczkowe jednorodne
Definicja 7.5 (Równanie jednorodne) Równanie różniczkowe, które można zapisać w postaci:
y
y′ = f
(J)
x
nazywamy równaniem jednorodnym.
Twierdzenie 7.3 (Zamiana zmiennych w równaniu jednorodnym)
Równanie jednorodne (J) sprowadza się do równania o zmiennych rozdzielonych przez podstawienie:
y =u·x
Dowód:
Szukamy funkcji u = u(x) takiej, aby funkcja y(x) = u(x) · x była rozwiązaniem
równania (J). Wtedy y ′ (x) = u′ (x) · x + u(x) i po podstawieniu do równania (J)
otrzymujemy równanie o zmiennych rozdzielonych:
x · u′ = f (u) − u
♥
Przykład 7.6
a) y ′ =
x
y
+
x y
b) x y ′ = y (ln y − ln x)
3. Równania różniczkowe liniowe
Definicja 7.6 Równanie różniczkowe liniowe jest to równanie postaci:
y ′ + p(x)y = q(x)
(L)
gdzie p i q są funkcjami ciągłymi na wspólnym przedziale (a, b).
W przypadku q(x) ≡ 0 równanie nosi nazwę równania różniczkowego liniowego
jednorodnego i ma postać:
y ′ + p(x)y = 0
49
(LJ)
Przykład 7.7 Wykazać, że przez każdy punkt obszaru
D = {(x, y) ∈ R2 : a
(…)
…).
Przykład 7.8 Uzasadnić, że rozwiązanie równania (LJ) dane jest wzorem:
y(x) = C exp −
p(x)dx
gdzie C jest dowolną stałą rzeczywistą.
Rozpatrzmy równanie (L), gdzie funkcja q nie jest tożsamościowo równa zeru. Takie
równanie liniowe nazwiemy równaniem liniowym niejednorodnym. Rozwiązanie
równania różniczkowego niejednorodnego (L) poszukujemy metodą uzmienniania
stałej.
Metoda ta polega na zastąpieniu…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)