To tylko jedna z 4 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE JEDNORODNE WZGLĘDEM X i Y
stosujemy podstawienie == po zróżniczkowaniu i po podstawieniu do równania RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU Przypadek I : a1b2 - b1a2 ≠ 0
Wtedy układ równań ma jedno rozwiązanie x=α i y=β
Wprowadzamy nowe zmienne : x - α = u; y - β = v
Równanie różniczkowe przekształci się na : Za v podstawiamy = Rozdzielamy zmienne i całkujemy.
Przypadek II : a1b2 - b1a2 = 0
współczynnik proporcjonalności : wprowadzamy nową zmienną : = po różniczce po uwzględnieniu wzorów równanie przyjmie postać : rozwiązujemy metodą rozdzielenia zmiennych
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE LINIOWE NIEJEDNORODNE rozwiązujemy tzw. metodą uzmienniania stałej.
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne Całką tego równania jest Teraz stałą C zastępujemy funkcją i mamy Obliczamy z tego pochodną : podstawiamy, redukujemy i liczymy
PRZYKŁAD :
Rozwiązujemy najpierw równanie jednorodne (przez rozdzielenie zmiennych)
Wynikiem jest gdzie uwalniając się od logarytmów mamy uzmienniamy stałą C1 : (**)
obliczamy pochodną : wartości y i y` wstawiamy do pierwszego równania skąd po redukcji otrzymamy czyli podstawiamy to do równania (**) otrzymując końcowy wynik
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU Przewidzenie : y1 = meCx lub y1 = (mx+n)eCx
PRZYKŁAD
Przewidujemy : Obliczamy z tego pochodną Wartości i podstawiamy do pierwszego równania : Skąd po uproszczeniu przez e3x znajdujemy m=2
Podstawiając m do równania na otrzymujemy Obliczamy teraz całkę ogólną równania uproszczonego : Po rozwiązaniu mamy : Całka ogólna całego równania to y1+y2 czyli RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU gdzie a jest liczbą stałą, a Wn(x) jest wielomianem stopnia n
PRZYKŁAD:
Przewidzenie : Obliczamy pochodną Podstawiamy powyższe wartości do pierwszego równania: Przyrównując współczynniki przy tych samych potęgach zmiennej x otrzymujemy związki:
2a=1; 2a+2b=0; b+2c=0; z tego mamy :
Rozwiązujemy teraz równanie jednorodne i z tego mamy Całka ogólna ma więc postać y1 + y2 tj. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE TYPU PRZEWIDZENIE :
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)