4.2
Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję f → A , A ⊂ R.
Niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost:
∆x = x − x0 taki, że x = x0 + ∆x również należy do A.
Definicja 4.8 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ A .
Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x−x0 określoną
wzorem
df (∆x) = f ′ (x0 ) · ∆x
Twierdzenie 4.5
Jeżeli funkcja f ma pochodną w punkcie x0 , to
(f (x0 + ∆x) − f (x0 )) − df (∆x)
=0
∆x→0
∆x
lim
Uwaga 4.3 Dla dostatecznie małych przyrostów ∆x do obliczeń przybliżonych stosujemy
wzór
f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + df (∆x)
Przykład 4.14 Korzystając z różniczki funkcji obliczyć wartości przybliżone wyrażeń:
√
√
4
a) 1.2 b) 15.96 c) arctg 0.98
4.3
Podstawowe twierdzenia rachunku różniczkowego
Twierdzenie 4.6 (Twierdzenie Rolle’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
f (a) = f (b) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f ′ (c) = 0.
Dowód:
Jeżeli f jest funkcją stałą na a, b , to f ′ (x) = 0 w każdym punkcie x ∈ (a, b).
Jeżeli f nie jest funkcją stałą, to z jej ciągłości na odcinku domkniętym i ograniczonym
wynika (Twierdzenie Weierstrassa 3.7), że f osiąga w tym przedziale wartość największą
M i najmniejszą m.
Ponieważ f (a) = f (b) , więc jedna z liczb m, M jest różna od f (a) = f (b) .
Istnieje więc c ∈ (a, b) takie, że f (c) jest wartością największą lub najmniejszą funkcji f
w a, b .
Na przykład, niech w punkcie c ∈ (a, b) funkcja osiąga kres górny.
Wtedy (∀x ∈ a, b ) f (x) f (c) , więc prawdziwe są implikacje:
xc⇒
f (x) − f (c)
x−c
0
i
x
• g(x) = cos x , x ∈
Twierdzenie 4.7 (Twierdzenie Lagrange’a)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to
istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że f (b) − f (a) = f ′ (c) · (b − a).
Dowód:
Rozważamy funkcję pomocniczą F (x) = (b − a) · f (x) − (f (b) − f (a)) · x.
Funkcja F spełnia założenia twierdzenia Rolle’a.
Zatem istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
F ′ (c) = (b − a) · f ′ (c) − (f (b) − f (a)) = 0
♥
Uwaga 4.4 Jeżeli funkcja f spełnia założenia twierdzenia Lagrange’a, to istnieje taki
punkt (c, f (c)) na wykresie tej funkcji, w którym styczna jest równoległa do siecznej, to
znaczy prostej przechodzącej przez punkty (a, f (a)) i (b, f (b)).
Przykład 4.16 Znaleźć punkty na wykresie podanych funkcji, w których styczna jest równoległa do siecznej.
a) f (x) = x2 , x ∈
b) g(x) =
1
, x ∈
1+x
c) h(x) = arc cos x , x ∈
Twierdzenie 4.8 (Twierdzenie o wartości średniej)
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) , to dla
dowolnych punktów x0 , x ∈ a, b takich, że x0 = x istnieje liczba θ ∈ (0, 1) taka, że
f (x) = f (x0 ) + f ′ (x0 + θ(x − x0 )) · (x − x0 )
Dowód:
Stosując twierdzenie Lagrange’a 4.7 dla przedziału , gdy x0 ,
c−x
gdy x 0)
x
1+x
2. (∀x ∈ R) ex
) | arc sin x − arc sin y|
|x − y|
Wniosek 4.2
Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b i różniczkowalna wewnątrz (a, b) oraz
(∀x ∈ (a, b)) f ′ (x) = 0 , to f jest funkcją stałą na .
24
Przykład 4.18 Udowodnić, że:
1. (∀x ∈ (0, 1 )
2. (∀x 0)
√
√
2
arc cos x = arc sin 1 − x2 = arctg 1−x
x
1
1
arc cos √1+x2 = arcctg x
Definicja 4.9 Funkcję f określoną na przedziale (a, b) nazywamy na tym przedziale
• rosnącą, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 x1 =⇒ f (x2 ) f (x1 )]
• niemalejąca, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 x1 =⇒ f (x2 )
f (x1 )]
• malejąca, jeśli (∀x1 , x2 ∈ (a, b)) [x2 x1 =⇒ f (x2 ) x1 =⇒ f (x2 )
f (x1 )]
Wniosek 4.3 Jeżeli funkcja f jest ciągła na przedziale a, b , ma pochodną wewnątrz
(a, b) oraz
• f ′ (x) 0 na (a, b) , to funkcja f jest na przedziale a, b rosnąca.
• f ′ (x)
0 na (a, b) , to funkcja jest na przedziale a, b niemalejąca.
• f ′ (x) 0 )
Niech x1 , x2 będą dowolnymi punktami z przedziału a, b takimi, że x1 0 i (x2 − x1 ) 0, to f (x2 ) − f (x1 ) 0,
więc funkcja f jest rosnąca.
Dowody dla pozostałych przypadków są podobne.
Przykład 4.19 Znaleźć przedziały monotoniczności funkcji f (x) = xx .
Twierdzenie 4.9 ( Twierdzenie Taylora)
Jeżeli funkcja f jest klasy C n ( a, b ) Dn+1 ((a, b)) , to istnieje punkt c ∈ (a, b) taki, że
f (b) = f (a) +
f ′ (a)
1! (b
− a) +
f ′′ (a)
2! (b
− a)2 +
f (n) (a)
n! (b
− a)n +
f (n+1) (c)
(n+1)! (b
− a)n+1 .
Wniosek 4.4
Jeżeli funkcja f jest klasy C n ( a, b ) Dn+1 ((a, b)) , to dla dowolnych dwóch punktów
x0 , x ∈ , istnieje liczba rzeczywista θ ∈ (0, 1) , że
f (x) = f (x0 ) +
f (k) (x0 )
f (n+1) (x0 + θ(x − x0 )
(x − x0 )k +
(x − x0 )n+1
k!
(n + 1)!
k=1
∞
25
Uwaga 4.5
Powyższy wzór nazywamy wzorem Taylora, przy czym ostatni składnik w tym wzorze
nosi nazwę n-tej reszty w postaci Lagrange’a.
W szczególnym przypadku, gdy x0 = 0 , wzór nazywamy wzorem Maclaurina:
n
f (x) = f (0) +
f (k) (0) k f (n+1) (θx) n+1
x +
x
,
k!
(n + 1)!
k=1
θ ∈ (0, 1)
Przykład 4.20 Wykazać, że:
n
a) (∀x ∈ R) (∃θ ∈ (0, 1)) ex = 1 +
xn+1
xk
+ eθx
k!
(n + 1)!
k=1
n
b) (∀x ∈ R+ ) (∃θ ∈ (0, 1))
4.4
(−1)k−1
ln(1 + x) =
k=1
xk
xn+1
+ (−1)n
k
(n + 1) (1 + θx)n+1
Twierdzenia o granicach nieoznaczonych
Wyrażenia nieoznaczone typu
0
0
i
∞
∞
Twierdzenie 4.10 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności 0 )
0
′
Niech funkcje f, g, f , f ′ będą określone w zbiorze (x0 −δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ) oraz spełniają
g g
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = 0
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
∞
Twierdzenie 4.11 (Reguła de l’Hospitala dla nieoznaczoności ∞ )
′
Niech funkcje f, g, f , f ′ będą określone w zbiorze (x0 −δ, x0 )∪(x0 , x0 +δ) oraz spełniają
g g
warunki:
• lim f (x) = lim g(x) = ∞
x→x0
x→x0
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
• istnieje granica (właściwa lub niewłaściwa) lim
f (x)
x→x0 g(x)
Wtedy istnieje lim
f (x)
x→x0 g(x)
i lim
f ′ (x)
′
x→x0 g (x)
= lim
Uwaga 4.6 Powyższe dwa twierdzenia są prawdziwe także dla granic jednostronnych w
punkcie x0 oraz dla granic w −∞ i +∞.
Przykład 4.21 Znaleźć granice:
ln(1 + x)
x→0
x
a) lim
x − sin x
x→0
x3
b) lim
26
x2
x→∞ ex
c) lim
(…)
… 4.2
Różniczka funkcji
Rozpatrujemy funkcję f → A , A ⊂ R.
Niech punkt x0 będzie punktem wewnętrznym zbioru A. Określamy przyrost:
∆x = x − x0 taki, że x = x0 + ∆x również należy do A.
Definicja 4.8 (Różniczki funkcji)
Niech funkcja f ma pochodną w punkcie wewnętrznym x0 ∈ A .
Różniczką funkcji f w punkcie x0 nazywamy funkcję df zmiennej ∆x = x−x0 określoną
wzorem
df (∆x) = f ′ (x0 ) · ∆x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)