Zbiór zadań §1. Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych. 1. Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których zachodzi równość: a) x2 1 0 x 1 1 = 0 1 x2 b) x = x ; x2 1 ; 1 5x 6x c) 3x 4x = 4x 3x. 5x 6x 0 ...
Zbiór zadań §2. Funkcje elementarne 1. Naszkicować wykres funkcji: a) f (x) = 2x − 1, i) f (x) = x2 − x + 1, q) f (x) = b) f (x) = −3x − 1, j) f (x) = x3 , r) f (x) = c) f (x) = |x + 2|, k) f (x) = 2x , s) f (x) = d) f (x) = |x|...
§3. Ciągi liczbowe 1. Wykazać, że ciąg o podanym wyrazie ogólnym jest ograniczony z góry (z dołu). 1 a) an = 1 + n , e) an = 1 b) an = 1 − n , f ) an = √ √ n+2− n− √ √ n, i) an = n + 2, j) an = n 3n , √ 4n2 + 3 − 2n, c) an = 1 , n2 g) an = ln n − ln(n + 2), k) an = 2n+1 ...
§4. Szeregi liczbowe 1. Dane są szeregi: ∞ a) n=1 1 n(n+3) , ∞ b) n=1 1 (3n−2)(3n+1) , ∞ c) n=1 3n +2n 6n . Wykonać następujące polecenia: 1) Wyznaczyć sumę częściową Sn szeregu. 2) Wykazać zbieżność szeregu. 3) Wyznaczyć sumę S szeregu. 2. Zbadać, czy poniższe szeregi spełniaj...
§5. Granica i ciągłość funkcji 1. Wyznaczyć granice: x2 +x−6 , 2 x→2 x −4 b) lim x→3 x2 +x−12 x3 −27 √ x3 −4x2 +x+2 , x4 −1 x→1 a) lim f ) lim 1 1−x g) lim , x→−1 x2 −2x−8 , 2 x→4 x −9x+20 c) lim − k) lim x→0 3 1−x3 , √ x2 − x √ , x−1 x→1 √ √ lim x− x x , x...
§6. Rachunek różniczkowy 1. Korzystając z definicji, wyznaczyć pochodne podanych funkcji w odpowiednich punktach: c) f (x) = √ 3 x w punkcie x0 = 8, d) f (x) = a) f (x) = x2 w punkcie x0 = −2, √ b) f (x) = x w punkcie x0 = 9, 1 x w punkcie x0 = −3. Obliczyć pochodne powyższych funkcji w...
§7. Rachunek całkowy 1. Stosując wzór na całkowanie przez części obliczyć poniższe całki nieoznaczone: √ k) x ln(x2 + 1)dx, ex sin xdx, l) arcsin xdx, h) ex cos xdx, m) 2x sin 3xdx, arctg xdx, i) x2 cos 2xdx, n) x c...
II. Logika i teoria zbiorów 1. Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki jest badanie związków między zdaniami. Przez zdanie rozumiemy w logice wyłącznie zdanie orzekające, które jest prawdziwe lub fałszywe. O zdaniu prawdziwym mówimy, że ma ono wartość logiczną 1, natomiast o zdaniu fał...
III. Zbiór liczb rzeczywistych 1. Liczby rzeczywiste Naukę o liczbach rzeczywistych można ująć w postaci teorii aksjomatycznej (w odróżnieniu od szkolnej definicji liczby rzeczywistej jako liczby posiadającej rozwinięcie na ułamek dziesięt...
IV. Ciągi liczbowe 1. Podstawowe pojęcia Definicja 1. Ciągiem liczbowym (nieskończonym)1 nazywamy funkcję a:N n → a(n) ∈ R. Tradycyjnie wartość ciągu a(n) oznaczamy symbolem an i nazywamy n-tym wyrazem ciągu lub wyrazem ogólnym ciągu. Sam ciąg oznaczamy jako a1 , a2 , . . . , an , . . . lub ...
