Fragment notatki:
Zbiór zadań
§1. Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
1. Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których zachodzi równość:
a)
x2 1
0
x
1 1
=
0 1
x2
b) x = x ;
x2
1
;
1
5x 6x
c) 3x 4x = 4x 3x.
5x 6x
0 2x
0
2x
2. Wyznaczyć macierz transponowaną AT do macierzy A, gdzie
a) A =
1 2
c) A =
;
3 4
3 1
b) A = 0 2 ;
1 −1
1
3
2
0 −2 2
0 0 5 3
1 0 −2 4
f) A =
;
−1 0 3 0
2 2 0 0
;
d) A = 0 1 2 3 ;
e) A =
−1
2
;
g) A = 4 .
3. Dla danych macierzy:
A=
4 −1
6
9
;
B=
0
3
3 −2
;
C=
8 3
6 1
znaleźć:
a) A + B;
b) C − A;
c) 3A;
d) 4B + 2C.
4. Wykonać, o ile można, działania:
a)
1 3
4 2 3
+ 2 4 ;
5 −2 0
5 −1
1
−2
b) 0 + −1;
1
3
c)
1 2 3
4 1 5
+
0 3 −1
1 4
5. Dane są macierze:
2 8
A = 3 0 ;
5 1
B=
2 0
3 8
;
C=
7 2
6 3
.
a. Czy iloczyn A · B jest określony? Obliczyć A · B. Czy można obliczyć B · A? Dlaczego ?
1
.
Zbiór zadań
b. Czy iloczyn B · C jest określony? Obliczyć B · C. Czy iloczyn C · B jest określony? Jeśli tak,
obliczyć C · B. Czy to prawda, że B · C = C · B?
6. Wykonać, o ile można, działania:
a)
b)
1 −1
1 2
· 4 2 ;
3 1
0 1
3
4
1
g) 3 · 0 1 5 8 ;
2
· 5 −2 ;
c) 5 −2 ·
3
4
h)
1
0
−2 −1
·
;
3
−4
0
·
−1 3
2
;
1 −4
−1
1 −1 −2
2 ;
i)
·
0 3
0
0
3
−1
j) −1 0 1 −2 · ;
0
1
2 0
1 5 · 1 −3 ;
k)
2 5
3 1
2 −1
d) 1 0 −2 · 1 0 ;
0 −2
0
e) −1 · 2 −1 0 −1 ;
3
f)
1
;
−2 3
0
1
l) 0 · 2 −2 3 ;
−1
0 −1
1 0 −2
m)
· 4
1 ;
2 −3 −1
−2 0
3 1
2 1 0
n) 2 0 ·
−1 0 1 ;
1 −1
1 −2
0 0
o) 3 1 ·
0 0 ;
2 −1
3 −1
1
p) −1 0 ·
0 .
2
1
7. Dane są macierze:
3
−1
A = −1
0 ;
1
2
B=
1
2
;
C = −1 0 3 .
a. Obliczyć A · B i B · C.
b. Obliczyć (A · B) · C i A · (B · C). Czy prawdziwa jest równość (A · B) · C = A · (B · C)?
8. Dane są macierze:
I2 =
1 0
0 1
;
1 0 0
I3 = 0 1 0 ;
0 0 1
A=
1 2 3
2 0 3
.
a. Obliczyć I2 · A i A · I3 .
b. Czy I2 · A = A dla dowolnej macierzy A wymiaru 2 × 3? Czy A · I3 = A dla dowolnej macierzy
A wymiaru 2 × 3?
2
Zbiór zadań
9. Rozwiązać równania macierzowe:
1 2
a) 3
+X +
3 0
1 0 2
b) X +
0 2 0
=
1
4
−1 0
5
4
X−
= X;
3 0
c)
0 2 0
4 0 0
· X = 2X −
0 3
6 4 5
2 6 3
3 5
2 4
d) 2X − 3 4 = X + 2 4.
2 4
2 3
;
;
10. Obliczyć wyznaczniki:
a) 5 ;
b)
e)
1 2
3 4
;
3
5
d)
6
h)
f)
−1 ;
0
1
−2 0
0
1
−1 1
0
0
1
2
0 1 1 0
0 0 1 1
;
1 0 0 1
;
2 1 1
i) 0 2 1 .
3
0 0 1
3
g) 0 1 −2 ;
3 ;
−2 −1
1
2 1
−1 −1
1
−3
−1
0
1
1
0 1
1 1 0 0
;
2
1 −2
c) 2
1 0
1 3
4
1
11. Stosując wielokrotnie rozwiniecie Laplace’a obliczyć wyznacznik:
0 4 0 2 0 1
5 0 1 2 0 6
4 3 2 1 1 0
2 0 1 1 0 0
.
0 2 0 0 3 0
0 1 0 0 6 0
12. Dane są macierze:
2 3 1
A = 0 −1 2
1 2 3
3 1 2
B = 1 0 −2 .
2 1 3
i
a. Obliczyć wyznaczniki det(A · B) i det(B · A). Sprawdzić, czy det(A · B) = det(B · A).
b. Sprawdzić, czy det(A · B) = det A · det B.
13. Wyznaczyć wszystkie liczby x spełniające równanie:
a)
x
2
−1 x
=
0 3
x 1
;
x
b)
1 2
x
x 0 =
−1 1 2
x −1
2
x
;
3
Zbiór zadań
1
c)
x
x
2
1 x x
−1 x = 0;
e) x 1 x = 0;
−5 −5 4
x x 1
0 1 1
x2
d) 1 0 x = 0;
f)
3
−1 1 = 0.
x
1 x 1
2
0
1
4
14. Za pomocą definicji obliczyć macierze odwrotne następujących macierzy:
a) A =
2 −1
3
b) B =
;
1
2 3
4 6
c) C = 2 .
;
15. Wyznaczyć macierz odwrotną A−1 do macierzy A, gdzie
0
0
a) A =
0
4
b) A =
0 0 1
0 2 0
;
3 0 0
0 0 0
1 1
g)
h)
;
6 8
c) A = 3 ;
d) A =
e) A =
f) A =
1 −4
0
1 12
0
;
1
3
i)
;
3
4
−1
2
−3
1
2
j)
;
1
2
A=
1
1
1
A=
1
1
1
A = 0
1
2
3
A=
0
−2 1
2
0;
0
1
1
1
k)
1
−1 −1
;
−1 1 −1
−1 −1 1
1 1
1 0;
−1 2
1 1
1 1;
0 1
1
l)
m)
n)
2
1
A=
1
0
A = 0
1
1
2
A=
5
1
2
A=
1
2
1 1
1 0;
1 2
0 1
1 1;
1 1
1
−4
2
−8 ;
5 −20
2 3
4
1
.
0 1 −3
2 4 2
2 5
16. Określić rząd macierzy A, gdzie:
a) A =
1 2
2
2
3
b) A =
1
c) A =
4
1
;
2;
1
2 2 2 2 2
3
2
d) A = 0
1
3 3 3 3
1 0
5 0;
0 2
;
3 6 9
e) A = 2 4 6 ;
4 8 12
1 2 3
f ) A = 0 1 2;
2 1 1
1 2 1
g) A = −1 1 0;
2 0 1
h) A =
3 2 1 0
0 1 2 3
;
4
Zbiór zadań
2
0
i) A =
1
1
j) A = 3
6
3
2
k) A =
7
0 4 8
1 2 4;
0 2 4
1 −2
2
0
l) A =
−1
2
4
3
m) A =
5
4
2 5 −3;
5 −1 3
−2
0 −1
1
−1
1
−3 −2 3
1
−8 −3 6
1
2
4 ;
10
2
2
0
−3
−4
−3
−4
−1
−2 4
;
1
7
3
3
2 −2
5 3
.
6 4
9 9
2
17. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
−1 2
0
b) X ·
1
·X =
3 −2
=
2
0
−1 1
−1 3
2
3 0 −1
d) X · 0 −2 1 =
;
−1 2 0
0
2 −2
;
−1 2
;
5 −4
−5 6
1 1 2
1 3
c) 1 0 1 · X = 0 −1;
2 2 3
2 0
g)
1
−1
−2
1
·X −
2
1
4
e)
2
·X =
−2
0
+
4 0
−1 1
0 −1
0 4
2 0 1
1 −1 2
f ) 1 1 1 · X = 3 0 1;
1 0 1
1 −2 1
1
−3 0 −2
=
0
−2
1
−2
1
−1
· X;
.
18. Zapisać w postaci macierzowej układy równań:
x1 − 2x2 = −5,
a)
x + x = 4;
1
2
x1 − x2 + 2x3 = −2,
b) 2x2 − x3 = −1,
x1 + x2 + x3 = 1;
x1 + x4 = 0,
c)
x − x = 1;
2
3
x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
d)
x − x + 2x = 2.
1
3
4
19. Korzystając z macierzy odwrotnej rozwiązać następujące układy równań:
x1 + 2x3 = 5,
a) x1 + x2 = 5,
x2 + x3 = 3;
5x1 − 6x2 + 4x3 = 3,
b) 3x1 − 3x2 + 2x3 = 2,
4x1 − 5x2 + 2x3 = 1;
x1 + 2x2 + 3x3 = 5,
c) x1 + 3x2 + 7x3 = 6,
x1 + x2 = 4;
x1 − 2x2 = 1,
d) 2x2 + x3 = −1,
x1 + x3 = 0.
5
Zbiór zadań
20. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujące układy równań:
−2x1 + x2 = 3,
a)
5x − 3x = −8;
1
2
2x1 − x2 = 1,
b)
x + 3x = 18;
1
2
−x1 + 4x2 = 0,
c)
3x − 12x = −11;
1
2
x1 + 2x2 + 3x3 = 6,
d) 2x1 + x2 + x3 = 4,
3x1 + x2 − 4x3 = 0;
x1 − x2 + x3 = 2,
e) 2x1 + x2 − x3 = 1,
−x1 + 2x3 = 3;
3x1 + 2x2 + x3 = 5,
f ) 2x1 + 3x2 + x3 = 1,
2x1 + x2 + 3x3 = 11;
g)
2x1 − x2 + 3x3 = 9,
3x − 5x2 + x3 = 2,
1
4x1 − 7x2 + x3 = 5;
x1 − 2x2 + x3 = 3,
h) 2x1 + x2 + x3 = −2,
x1 − x2 + x3 = 2;
2x − 3x + 2x + 4x = 8,
1
2
3
4
x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = −4,
i)
3x + 2x − 2x + x = 2,
1
2
3
4
−x1 + x2 + x3 − 5x4 = −5;
x + x + x + x = 0,
1
2
3
4
2x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 17,
j)
−x + 3x − x = 7,
1
3
4
3x1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 9.
21. Rozwiązać następujące układy równań w postaci macierzowej:
1
a) 2
1
1
2
b)
1
1 −1
x1
1
3 −2 · x2 = 2;
0 −2
x
0
3
−2 1
x1
3
· x2 = −2;
1 1
−1 1
x3
2
3 −2 0
x1
0
c) 1 −1 2 · x2 = 1 ;
0 1 1
x3
−1
0 1 −2
x1
3
1 −1 0 · x2 = 1.
d)
1 1
1
x3
2
22. Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelliego sprawdzić, czy następujące układy mają rozwiązanie:
a)
2x1 + 4x3 = 1,
x − x4 = 0,
2
x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0;
2x + x = 1,
1
2
x1 + x2 = 1,
b)
x − 2x = −2,
1
2
2x1 − x2 = −1;
c)
x1 − x2 + 2x4 = 0,
2x + x2 + 3x3 + x4 + 3x5 = 3,
1
x1 + x2 + x3 + x4 = 1;
2x − x + x = 0,
1
2
3
x2 − 2x3 = 0,
d)
x + x = 0,
1
3
x1 + x2 − x3 = 0.
6
Zbiór zadań
23. Rozwiązać układy równań:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
x1 + 2x2 + x3 = 4,
2x + x + 5x = 5;
1
2
3
2x1 + x2 − x3 = 1,
x + 2x = 2;
1
3
2x1 + 3x2 + x3 = 4,
x + 2x + 2x = 5;
1
2
3
x1 + x2 + x3 = 1,
2x + 3x − x = 1;
1
2
3
x + 2x = 1,
1
2
2x1 + x2 = −1,
x1 − x2 = −2,
−5x1 − 4x2 = 1;
5x1 − 3x2 = −7,
−2x1 + 9x2 = 4,
2x1 + 4x2 = −2;
x1 − 2x2 = 0,
3x + x2 = −2,
1
4x1 − x2 = 3;
h)
3x1 − 2x2 = 5,
2x + 3x2 = 12,
1
2x1 − 3x2 = 0;
x1 + 2x2 + 3x3 = 5,
i) 2x1 − x2 − x3 = 1,
x1 + 3x2 + 4x3 = 6;
x1 + x2 + x3 = 0,
j) 2x1 − x2 − x3 = −3,
4x1 − 5x2 − 3x3 = −7;
2x1 − x2 + x3 = 2,
k) 3x1 + 2x2 + 2x3 = −2,
x1 − 2x2 + x3 = 0;
2x1 + 3x2 + x3 = 4,
l) x1 + 2x2 + 2x3 = 5,
3x1 + 5x2 + 3x3 = 8;
x1 + 2x2 + x3 + x4 = 1,
m) 2x1 + 4x2 − x3 − x4 = 2,
x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 3;
−x1 + x2 − 2x3 + x4 = −1,
n) x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 8,
2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 3.
24. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
5 1
1 5
b) X ·
6 4 5
· X = 2X −
1 −1 1
0
2
3
2 6 3
−1 2
4 3
d) 3 1 · X = 2 −2;
0 1
2 1
;
= 1 0 0 ;
1
2 = 1 0 1 · 0 −1 2 ;
c) 3X ·
−1
g)
1
−1
−2
1
·X −
0 1
e)
2
1
1
−3 0 −2
=
1 0
2 1 1
f)
0
−2
1
−2
1
−1
· X = XT ;
0 0 1
·X =
4 2 1
8 4 1
;
.
7
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)