\Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowyc - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 147
Wyświetleń: 896
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
\Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowyc - omówienie - strona 1 \Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowyc - omówienie - strona 2 \Macierze, wyznaczniki, układy równan liniowyc - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

Zbiór zadań
§1. Macierze, wyznaczniki, układy równań liniowych.
1. Wyznaczyć wszystkie wartości x, dla których zachodzi równość:
a)
x2 1
0
x
1 1
=
0 1


 
x2
   
b)  x  =  x ;
   
x2
1
;
1




5x 6x

 

c) 3x 4x = 4x 3x.

 

5x 6x
0 2x
0
2x
2. Wyznaczyć macierz transponowaną AT do macierzy A, gdzie
a) A =
1 2
c) A =
;
3 4


3 1


b) A = 0 2 ;


1 −1
1
3
2
0 −2 2

0 0 5 3


 1 0 −2 4


f) A = 
;
−1 0 3 0


2 2 0 0
;
d) A = 0 1 2 3 ;
e) A =
−1
2

;
g) A = 4 .
3. Dla danych macierzy:
A=
4 −1
6
9
;
B=
0
3
3 −2
;
C=
8 3
6 1
znaleźć:
a) A + B;
b) C − A;
c) 3A;
d) 4B + 2C.
4. Wykonać, o ile można, działania:
a)


1 3


4 2 3
+ 2 4 ;


5 −2 0
5 −1
   
1
−2
   
b) 0 + −1;
   
1
3
c)
1 2 3
4 1 5
+
0 3 −1
1 4
5. Dane są macierze:


2 8


A = 3 0 ;


5 1
B=
2 0
3 8
;
C=
7 2
6 3
.
a. Czy iloczyn A · B jest określony? Obliczyć A · B. Czy można obliczyć B · A? Dlaczego ?
1
.
Zbiór zadań
b. Czy iloczyn B · C jest określony? Obliczyć B · C. Czy iloczyn C · B jest określony? Jeśli tak,
obliczyć C · B. Czy to prawda, że B · C = C · B?
6. Wykonać, o ile można, działania:
a)
b)


1 −1

1 2 
· 4 2 ;

3 1 
0 1
3
4
 
1
 
g) 3 · 0 1 5 8 ;
 
2
· 5 −2 ;
c) 5 −2 ·
3
4
h)
1
0
−2 −1
·
;
3
−4
0
·
−1 3
2
;
1 −4
 
−1
1 −1 −2  
 2 ;
i)
· 
0 3
0
0
 
3
 
−1
 
j) −1 0 1 −2 ·  ;
0
 
1


2 0


1 5 · 1 −3 ;
k) 
 2 5
3 1


2 −1


d) 1 0 −2 · 1 0 ;


0 −2
 
0
 
e) −1 · 2 −1 0 −1 ;
 
3
f)
1

;
−2 3
0
1

 
l)  0  · 2 −2 3 ;
 
−1


0 −1

1 0 −2 
m)
· 4
1 ;


2 −3 −1
−2 0


3 1


2 1 0
n) 2 0  ·

 −1 0 1 ;
1 −1


1 −2

 0 0
o) 3 1  ·

 0 0 ;
2 −1


3 −1

 1
p) −1 0  ·

 0 .
2
1
7. Dane są macierze:

3
−1

A = −1



0 ;

1
2
B=
1
2
;
C = −1 0 3 .
a. Obliczyć A · B i B · C.
b. Obliczyć (A · B) · C i A · (B · C). Czy prawdziwa jest równość (A · B) · C = A · (B · C)?
8. Dane są macierze:
I2 =
1 0
0 1
;


1 0 0


I3 = 0 1 0 ;


0 0 1
A=
1 2 3
2 0 3
.
a. Obliczyć I2 · A i A · I3 .
b. Czy I2 · A = A dla dowolnej macierzy A wymiaru 2 × 3? Czy A · I3 = A dla dowolnej macierzy
A wymiaru 2 × 3?
2
Zbiór zadań
9. Rozwiązać równania macierzowe:
1 2
a) 3
+X +
3 0
1 0 2
b) X +
0 2 0
=
1
4
−1 0
5
4
X−
= X;
3 0
c)
0 2 0
4 0 0
· X = 2X −
0 3
6 4 5
2 6 3




3 5
2 4




d) 2X − 3 4 = X + 2 4.




2 4
2 3
;
;
10. Obliczyć wyznaczniki:
a) 5 ;
b)
e)
1 2
3 4
;
3
5
d)
6
h)
f)
−1 ;
0
1
−2 0
0
1
−1 1
0
0
1
2
0 1 1 0
0 0 1 1
;
1 0 0 1
;
2 1 1
i) 0 2 1 .
3
0 0 1
3
g) 0 1 −2 ;
3 ;
−2 −1
1
2 1
−1 −1
1
−3
−1
0
1
1
0 1
1 1 0 0
;
2
1 −2
c) 2
1 0
1 3
4
1
11. Stosując wielokrotnie rozwiniecie Laplace’a obliczyć wyznacznik:
0 4 0 2 0 1
5 0 1 2 0 6
4 3 2 1 1 0
2 0 1 1 0 0
.
0 2 0 0 3 0
0 1 0 0 6 0
12. Dane są macierze:


2 3 1


A = 0 −1 2


1 2 3


3 1 2


B = 1 0 −2 .


2 1 3
i
a. Obliczyć wyznaczniki det(A · B) i det(B · A). Sprawdzić, czy det(A · B) = det(B · A).
b. Sprawdzić, czy det(A · B) = det A · det B.
13. Wyznaczyć wszystkie liczby x spełniające równanie:
a)
x
2
−1 x
=
0 3
x 1
;
x
b)
1 2
x
x 0 =
−1 1 2
x −1
2
x
;
3
Zbiór zadań
1
c)
x
x
2
1 x x
−1 x = 0;
e) x 1 x = 0;
−5 −5 4
x x 1
0 1 1
x2
d) 1 0 x = 0;
f)
3
−1 1 = 0.
x
1 x 1
2
0
1
4
14. Za pomocą definicji obliczyć macierze odwrotne następujących macierzy:
a) A =
2 −1
3
b) B =
;
1
2 3
4 6
c) C = 2 .
;
15. Wyznaczyć macierz odwrotną A−1 do macierzy A, gdzie

0

0

a) A = 
0

4
b) A =

0 0 1

0 2 0

;
3 0 0

0 0 0
1 1
g)
h)
;
6 8
c) A = 3 ;
d) A =
e) A =
f) A =
1 −4
0
1 12
0
;
1
3
i)
;
3
4
−1
2
−3
1
2
j)
;

1

2
A=
1

1

1

A=
1

1

1

A = 0

1

2

3
A=
0
−2 1

2

0;

0
1
1
1
k)
1


−1 −1

;
−1 1 −1

−1 −1 1

1 1

1 0;

−1 2

1 1

1 1;

0 1
1
l)
m)
n)

2

1
A=
1

0

A = 0

1

1

2
A=
5

1

2

A=
1

2
1 1


1 0;

1 2

0 1

1 1;

1 1

1
−4
2

−8 ;

5 −20
2 3
4


1

.
0 1 −3

2 4 2
2 5
16. Określić rząd macierzy A, gdzie:
a) A =
1 2
2

2

3
b) A = 
1
c) A =
4
1
;


2;

1
2 2 2 2 2
3

2

d) A = 0

1
3 3 3 3

1 0

5 0;

0 2
;


3 6 9


e) A = 2 4 6 ;


4 8 12


1 2 3


f ) A = 0 1 2;


2 1 1


1 2 1


g) A = −1 1 0;


2 0 1
h) A =
3 2 1 0
0 1 2 3
;
4
Zbiór zadań

2

0
i) A = 
1

1

j) A = 3

6

3

2
k) A = 
7


0 4 8

1 2 4;

0 2 4
1 −2
2

0

l) A = 
−1


2

4

3

m) A = 
5

4

2 5 −3;

5 −1 3
−2
0 −1
1
−1
1
−3 −2 3
1
−8 −3 6
1
2


4 ;

10
2
2
0
−3
−4
−3
−4

−1

−2 4 

;
1
7

3
3

2 −2

5 3

.
6 4

9 9
2
17. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
−1 2
0
b) X ·
1
·X =
3 −2
=
2
0
−1 1


−1 3
2


3 0 −1
d) X ·  0 −2 1  =
;


−1 2 0
0
2 −2
;
−1 2
;
5 −4
−5 6




1 1 2
1 3




c) 1 0 1 · X = 0 −1;




2 2 3
2 0
g)
1
−1
−2
1
·X −
2
1
4
e)
2
·X =
−2
0
+
4 0
−1 1
0 −1
0 4




2 0 1
1 −1 2




f ) 1 1 1 · X = 3 0 1;




1 0 1
1 −2 1
1
−3 0 −2
=
0
−2
1
−2
1
−1
· X;
.
18. Zapisać w postaci macierzowej układy równań:

x1 − 2x2 = −5,
a)
x + x = 4;
1
2

x1 − x2 + 2x3 = −2,



b) 2x2 − x3 = −1,




x1 + x2 + x3 = 1;

x1 + x4 = 0,
c)
x − x = 1;
2
3

x1 + 2x2 + x3 − x4 = 1,
d)
x − x + 2x = 2.
1
3
4
19. Korzystając z macierzy odwrotnej rozwiązać następujące układy równań:

x1 + 2x3 = 5,



a) x1 + x2 = 5,




x2 + x3 = 3;

5x1 − 6x2 + 4x3 = 3,



b) 3x1 − 3x2 + 2x3 = 2,




4x1 − 5x2 + 2x3 = 1;

x1 + 2x2 + 3x3 = 5,



c) x1 + 3x2 + 7x3 = 6,




x1 + x2 = 4;

x1 − 2x2 = 1,



d) 2x2 + x3 = −1,




x1 + x3 = 0.
5
Zbiór zadań
20. Za pomocą wzorów Cramera rozwiązać następujące układy równań:

−2x1 + x2 = 3,
a)
5x − 3x = −8;
1
2

2x1 − x2 = 1,
b)
x + 3x = 18;
1
2

−x1 + 4x2 = 0,
c)
3x − 12x = −11;
1
2

x1 + 2x2 + 3x3 = 6,



d) 2x1 + x2 + x3 = 4,




3x1 + x2 − 4x3 = 0;

x1 − x2 + x3 = 2,



e) 2x1 + x2 − x3 = 1,




−x1 + 2x3 = 3;

3x1 + 2x2 + x3 = 5,



f ) 2x1 + 3x2 + x3 = 1,




2x1 + x2 + 3x3 = 11;
g)

2x1 − x2 + 3x3 = 9,



3x − 5x2 + x3 = 2,
 1



4x1 − 7x2 + x3 = 5;

x1 − 2x2 + x3 = 3,



h) 2x1 + x2 + x3 = −2,




x1 − x2 + x3 = 2;

2x − 3x + 2x + 4x = 8,

 1
2
3
4




x1 + 2x2 − 2x3 − 2x4 = −4,
i)
3x + 2x − 2x + x = 2,
 1

2
3
4




−x1 + x2 + x3 − 5x4 = −5;

x + x + x + x = 0,
 1

2
3
4




2x1 − 3x2 + 4x3 − 2x4 = 17,
j)
−x + 3x − x = 7,
 1

3
4




3x1 + 4x2 + 2x3 − 3x4 = 9.
21. Rozwiązać następujące układy równań w postaci macierzowej:

1

a) 2

1

1

2
b) 
1
    
1 −1
x1
1
    
3 −2 · x2  = 2;
    
0 −2
x
0
  3  
−2 1
x1
3
    
 · x2  = −2;
1 1    
−1 1
x3
2

    
3 −2 0
x1
0

    
c) 1 −1 2 · x2  =  1 ;

    
0 1 1
x3
−1

    
0 1 −2
x1
3

    
1 −1 0  · x2  = 1.
d) 
    
1 1
1
x3
2
22. Korzystając z twierdzenia Kroneckera-Capelliego sprawdzić, czy następujące układy mają rozwiązanie:
a)

2x1 + 4x3 = 1,



x − x4 = 0,
 2



x1 − x2 + 2x3 + x4 = 0;

2x + x = 1,
 1

2




x1 + x2 = 1,
b)
x − 2x = −2,
 1

2




2x1 − x2 = −1;
c)

x1 − x2 + 2x4 = 0,



2x + x2 + 3x3 + x4 + 3x5 = 3,
 1



x1 + x2 + x3 + x4 = 1;

2x − x + x = 0,
 1

2
3




x2 − 2x3 = 0,
d)
x + x = 0,
 1

3




x1 + x2 − x3 = 0.
6
Zbiór zadań
23. Rozwiązać układy równań:
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)

x1 + 2x2 + x3 = 4,
2x + x + 5x = 5;
1
2
3

2x1 + x2 − x3 = 1,
x + 2x = 2;
1
3

2x1 + 3x2 + x3 = 4,
x + 2x + 2x = 5;
1
2
3

x1 + x2 + x3 = 1,
2x + 3x − x = 1;
1
2
3

x + 2x = 1,
 1

2




2x1 + x2 = −1,

x1 − x2 = −2,





−5x1 − 4x2 = 1;

5x1 − 3x2 = −7,



−2x1 + 9x2 = 4,




2x1 + 4x2 = −2;

x1 − 2x2 = 0,



3x + x2 = −2,
 1



4x1 − x2 = 3;
h)

3x1 − 2x2 = 5,



2x + 3x2 = 12,
 1



2x1 − 3x2 = 0;

x1 + 2x2 + 3x3 = 5,



i) 2x1 − x2 − x3 = 1,




x1 + 3x2 + 4x3 = 6;

x1 + x2 + x3 = 0,



j) 2x1 − x2 − x3 = −3,




4x1 − 5x2 − 3x3 = −7;

2x1 − x2 + x3 = 2,



k) 3x1 + 2x2 + 2x3 = −2,




x1 − 2x2 + x3 = 0;

2x1 + 3x2 + x3 = 4,



l) x1 + 2x2 + 2x3 = 5,




3x1 + 5x2 + 3x3 = 8;

x1 + 2x2 + x3 + x4 = 1,



m) 2x1 + 4x2 − x3 − x4 = 2,




x1 + 2x2 + 3x3 + 5x4 = 3;

−x1 + x2 − 2x3 + x4 = −1,



n) x1 + 2x2 + 2x3 + 3x4 = 8,




2x1 − x2 + 3x3 − x4 = 3.
24. Rozwiązać równania macierzowe:
a)
5 1
1 5
b) X ·
6 4 5
· X = 2X −
1 −1 1
0

2

3
2 6 3




−1 2
4 3




d)  3 1 · X = 2 −2;




0 1
2 1
;
= 1 0 0 ;
1
 
 2  = 1 0 1 · 0 −1 2 ;
c) 3X ·  
−1
g)
1
−1
−2
1
·X −
0 1
e)
2
1
1
−3 0 −2
=
1 0
2 1 1
f)
0
−2
1
−2
1
−1
· X = XT ;
0 0 1
·X =
4 2 1
8 4 1
;
.
7
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz