V. Szeregi liczbowe 1. Podstawowe pojęcia Niech (an ) będzie pewnym nieskończonym ciągiem liczbowym, (Sn ) zaś ciągiem, którego n-tym wyrazem jest suma n początkowych wyrazów ciągu (an ). Definicja 1. Ciąg (Sn ) sum n Sn = (1) ak k=1 nazywamy szeregiem liczbowym nieskończonym, który symbol...
VI. Funkcje rzeczywiste 1. Pojęcia podstawowe Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y . Definicja 1. Jeżeli każdemu elementowi x ∈ X przyporządkujemy dokładnie jeden element y ∈ Y , to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja (lub odwzorowanie, lub przekształcenie), odwzorowująca...
VII. Granica i ciągłość funkcji 1. Granica funkcji Definicja 1. Punkt x0 ∈ R nazywamy punktem skupienia zbioru X, gdy w każdym jego sąsiedztwie1 S(x0 , ε) istnieją punkty ze zbioru X. Dokładniej, gdy ∀ S(x0 , ε) ∩ X = ∅. ε0 q q qqq ...
VIII. Rachunek różniczkowy 1. Pochodna funkcji Niech f będzie funkcją określoną w pewnym otoczeniu U (x0 , δ) = (x0 − δ, x0 + δ) punktu x0 . Przez x1 oznaczmy dowolny punkt tego otoczenia. Oczywiście x1 = x0 + h, gdzie h ∈ (−δ, δ). Definicja 1. Ilorazem różnicowym funkcji f między punktami x0 i ...
IX. Rachunek całkowy 1. Całka nieoznaczona Niech F : I → R i f : I → R będą funkcjami określonymi na pewnym przedziale I ⊂ R. Definicja 1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, gdy F (x) = f (x) dla x ∈ I. Zauważmy, że jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to d...
Zadanie 1 Oblicz rząd macierzy . Zadanie 2 Oceń, czy następujący układ równań jest układem Cramera i, jeśli tak, rozwiąż go metodą wyznaczników. Zadanie 3 Zbadaj, ile rozwiązań posiada podany układ równań. Jeśli jest nieoznaczony, to określ jego rozwiązanie ogólne i dwa różne rozwiązania szczeg...
