VI. Funkcje rzeczywiste
1. Pojęcia podstawowe
Załóżmy, że dane są dwa niepuste zbiory X i Y .
Definicja 1. Jeżeli każdemu elementowi x ∈ X przyporządkujemy dokładnie jeden element y ∈ Y ,
to mówimy, że na zbiorze X została określona funkcja (lub odwzorowanie, lub przekształcenie),
odwzorowująca zbiór X w zbiór Y . Funkcję oznaczamy zwykle przez f , co zapisujemy następująco:
f :X→Y
albo
f :X
x → f (x) ∈ Y.
Zbiór X nazywamy dziedziną funkcji f , natomiast Y nazywa się przeciwdziedziną funkcji f . Zapis
f : X → Y czytamy: "f odwzorowuje zbiór X w zbiór Y ". W zapisie
y = f (x)
zmienna x mnazywa się argumentem funkcji f , natomiast y – wartością funkcji f .
Niech teraz dane będą zbiory A ⊂ X i B ⊂ Y . Zbiór f (A) określony następująco:
f (A) = {f (x) : x ∈ A}
nazywać będziemy obrazem zbioru A w odwzorowaniu f . Zbiór f −1 (B) określony wzorem
f −1 (B) = {x ∈ X : f (x) ∈ B}
nazywamy przeciwobrazem zbioru B w odwzorowaniuf . Zauważmy, że f (A) ⊂ Y , natomiast
f −1 (B) ⊂ X.
Zbiór f (X), czyli obraz dziedziny, nazywamy zbiorem wartości funkcji f . W przypadku, gdy
f (X) = Y , funkcję f nazywamy odwzorowaniem na.
Funkcję f będziemy nazywać różnowartościową na zbiorze A ⊂ X, jeżeli różnym argumentom
odpowiadają różne wartości funkcji, tzn. jeżeli jest spełniony warunek
∀
x1 ,x2 ∈A
x1 = x2 ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) .
Równoważnie warunek ten można zapisać w postaci
∀
x1 ,x2 ∈A
f (x1 ) = f (x2 ) ⇒ x1 = x2 .
Funkcję f : X → Y , która jest różnowartościowa na całej dziedzinie X i jest odwzorowaniem na
będziemy nazywać odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym.
Zauważmy, że jeżeli f : X → Y jest odwzorowaniem wzajemnie jednoznacznym, to dla każdego
y ∈ Y istnieje dokładnie jeden argument x ∈ X taki, że y = f (x). Możemy zatem rozważać funkcję,
VI. Funkcje rzeczywiste
która elementowi y ∈ Y przyporządkowuje właśnie ten jedyny element x. Taka funkcja nosi nazwę
funkcji odwrotnej do funkcji f i oznaczamy ją przez f −1 . Mamy:
f −1 (y) = x ⇔ y = f (x).
Niech teraz dane będą trzy niepuste zbiory X, Y i Z oraz dwie funkcje f : X → Y i g : Y → Z.
Złożeniem funkcji f oraz g nazywamy funkcję h : X → Z, określoną w następujący sposób:
h(x) = g f (x)
x ∈ X.
dla
Złożenie funkcji f i g oznaczamy symbolem g ◦ f . Zatem
(g ◦ f )(x) = g f (x) ,
przy czym f nazywa się funkcją wewnętrzną, natomiast g – funkcją zewnętrzną.
Przykład 1. Funkcja
1
+ 3x − 5
1
2 + 3x − 5 i g(y) = √y − √ , gdyż
jest złożeniem dwóch funkcji f (x) = x
y
h(x) =
x2 + 3x − 5 − √
(g ◦ f )(x) = g f (x) = g x2 + 3x − 5 =
x2
x2 + 3x − 5 − √
x2
1
,
+ 3x − 5
przy czym funkcja f jest wewnętrzna, a funkcja g jest zewnętrzna.
2. Funkcje rzeczywiste
Definicja 2. Jeżeli X jest podzbiorem zbioru R (tzn. X ⊂ R), to funkcję f : X → R nazywamy
funkcją rzeczywistą zmiennej rzeczywistej.
W celu określenia funkcji podajemy zwykle wzór y = f (x), gdzie za dziedzinę funkcji f przyjmuje
się (jeśli nie jest powiedziane inaczej) zbiór tych liczb x ∈ R, dla których wzór y = f (x) ma sens.
Zbiór
Gf = {(x, f (x)) ∈ R2 : x ∈ X}.
nazywamy wykresem funkcji f .
Funkcję f : X → R nazywamy rosnącą (odpowiednio malejącą) w zbiorze X, gdy dla dowolnych
argumentów x1 , x2 ∈ X zachodzi implikacja
x1 f (x2 ), otrzymamy
definicję funkcji ściśle malejącej.
Funkcję f : X → R nazywamy ograniczoną z góry, (odpowiednio ograniczoną z dołu), gdy istnieje
stała M ∈ R taka, że
∀ f (x)
x∈X
M,
(odpowiednio: ∀ M
x∈X
f (x)).
Funkcję f : X → R nazywamy parzystą (odpowiednio nieparzystą), gdy dla każdego argumentu
x ∈ X liczba −x ∈ X oraz
f (−x) = f (x)
(odpowiednio f (−x) = −f (x)).
43
VI. Funkcje rzeczywiste
Funkcję f : X → R nazywamy okresową, gdy istnieje liczba T = 0 (zwana wtedy okresem funkcji)
taka, że dla każdego argumentu x ∈ X liczby x − T, x + T ∈ X oraz
f (x − T ) = f (x) = f (x + T ).
Najmniejszy dodatni okres funkcji okresowej nazywamy okresem podstawowym tej funkcji.
Liczbę x0 ∈ X, dla której f (x0 ) = 0 nazywamy miejscem zerowym funkcji f : X → R.
3. Funkcje elementarne
Funkcja liniowa. Jest to funkcja postaci
x ∈ R,
f (x) = ax + b,
gdzie a, b ∈ R. Jeśli a = 0, to funkcja liniowa f jest stała i jej wykresem jest prosta pozioma
(równoległa do osi OX). Jeśli a = 0, to wykresem funkcji liniowej f jest prosta przecinająca oś Y w
b
punkcie (0, b), oś X w punkcie (− a , 0) i nachylona do osi OX, pod kątem α takim, że tg α = a.
y
T
¡
¡
¡
¡
¡
¡b
¡
¡
¡
b
x
E
−a
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
¡
Funkcja kwadratowa. Jest to funkcja postaci
f (x) = ax2 + bx + c,
x ∈ R,
gdzie a, b, c ∈ R i a = 0. Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola, której położenie na płaszczyźnie jest uzależnione od współczynników a, b i c. Liczbę ∆ (delta) równą b2 − 4ac nazywamy wyb
∆
różnikiem kwadratowym. Przy tych oznaczeniach wierzchołek paraboli ma współrzędne (− 2a , − 4a ).
y
T
b
− 2a
x
E
r
∆
− 4a
44
VI. Funkcje rzeczywiste
Własność 1. Ilość miejsc zerowych funkcji kwadratowej zależy od znaku ∆. Mianowicie:
— jeśli ∆ 0, to funkcja f posiada dokładnie dwa różne miejsca zerowe postaci
√
−b − ∆
x1 =
,
2a
√
−b + ∆
x2 =
,
2a
— jeśli ∆ = 0, to funkcja f ma tylko jedno miejsce zerowe postaci
x0 = −
b
,
2a
— jeśli ∆ 0,
a ∈ Q, a 1 są rosnące, natomiast o podstawie 0 1
y = ax
a 0 i a = 1. Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest przedział otwarty (0, +∞).
y
T
y
T
y = loga x
a1
y = loga x
a
(…)
…
Funkcja wymierna. Jest to funkcja postaci
R(x) =
an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0
,
bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0
x ∈ R \ D,
gdzie a0 , a1 , . . . , an , b0 , b1 , . . . , bm ∈ R, an = 0 i bm = 0 oraz
D = {x ∈ R : bm xm + bm−1 xm−1 + . . . + b1 x + b0 = 0}.
Funkcje wymierne postaci
A
,
(x − a)k
(x2
Bx + C
,
+ px + q)k
gdzie A, B, C, p, q ∈ R, k ∈ N i p2 − 4q < 0 (p2 − 4q jest wyróżnikiem trójmianu x2 + px + q),
nazywamy ułamkami prostymi.
Twierdzenie 2. Każdą funkcję wymierną można przedstawić jednoznacznie w postaci sumy pewnego
wielomianu oraz skończonej liczby ułamków prostych.
Przykład 2.
x2
2
2
1
1
=
=
− .
− 2x
x(x − 2)
x−2 x
Funkcja potęgowa. Jest to funkcja postaci
f (x) = xa ,
gdzie a ∈ R. Jej dziedzina Da zależy od wartości
R,
R \ {0},
Da =
[0, +∞),
(0, +∞),
x ∈ Da ,
wykładnika a. I tak na przykład:
jeśli
jeśli
jeśli
jeśli
a ∈ N,
a ∈ Z, a < 0,
a ∈ Q, a > 0,
a ∈ Q, a < 0.
Funkcja wykładnicza. Jest to funkcja postaci
f (x) = ax ,
x ∈ R,
gdzie a ∈ (0, +∞). Wartości każdej funkcji wykładniczej są dodatnie. Funkcje wykładnicze o podstawie a > 1 są rosnące, natomiast o podstawie 0 < a < 1 są malejące.
y
T
y
T
y = ax
a>1
y = ax
a<1
x
x
E
E
46
VI. Funkcje…
… rzeczywiste
Funkcja logarytmiczna. Jest to funkcja postaci
x ∈ (0, +∞),
f (x) = loga x,
gdzie a > 0 i a = 1. Dziedziną każdej funkcji logarytmicznej jest przedział otwarty (0, +∞).
y
T
y
T
y = loga x
a>1
y = loga x
a<1
x
x
E
E
Funkcje trygonometryczne. Są to cztery funkcje postaci:
∞
(−1)n
sin x =
n=0
∞
(−1)n
cos x =
n=0
x2n+1
,
(2n + 1)!
x2n
,
(2n)!
x ∈ R,
(sinus)
x ∈ R,
(cosinus)
y
T
y
T
y = sin x
y = cos…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)