To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
10. Elementy teorii szeregów Fouriera
1. Wielomiany i szeregi trygonometryczne. Funkcję postaci
N
1
T (x) = a0 +
an cos nx + bn sin nx
2
n=1
nazywamy wielomianem trygonometrycznym. Jak widać, wielomian trygonometryczny
jest funkcją okresową o podstawowym okresie 2π i ma nieskończenie wiele pochodnych, które są także wielomianami trygonometrycznymi. Niejawnymi przykładami wielomianów trygonometrycznych są funkcje
1
1 cos 2x
,
S(x) = sin x cos x = sin 2x.
T (x) = cos2 x = +
2
2
2
Znamy już dobrze wielomiany
n
sin(n + 1) x sin n x
2
2
Tn (x) =
sin kx =
,
sin x
k=1
2
cos(n + 1) x sin n x
2
2
Sn (x) =
cos kx =
sin x
k=1
2
n
oraz
sin(n + 1) x cos n x
2
2
.
sin x
k=0
2
Innym bardzo ważnym ważnym przykładem jest funkcja
m
sin(2m + 1) x
2
Dm (x) =
=1+2
cos kx
sin x
k=1
2
n
Un (x) =
cos kx =
zwana jądrem Dirichleta. Zauważmy, że
1 2π
Dm (x) dx = 1.
2π 0
Niech teraz f : R → R jest funkcją okresową o okresie 2π i całkowalną na odcinkach domkniętych. Klasę takich funkcji będziemy oznaczać przez R2π (R). W niniejszym
rozdziale zajmiemy się zagadnieniem aproksymacji takich funkcji szeregami trygonometrycznymi, to znaczy szeregami postaci
∞
1
an cos nx + bn sin nx,
S(x) = a0 +
2
n=1
gdzie
1 π
1 π
f (x) cos nx dx,
bn =
f (x) sin nx dx.
π −π
π −π
Widzimy, że sumy częściowe szeregu trygonometrycznego są wielomianami trygonometrycznymi.
Tak zbudowany szereg trygonometryczny nazywa się szeregiem Fouriera funkcji f . Aby
to zaznaczyć, piszemy
∞
1
f ∼ a0 +
an cos nx + bn sin nx.
2
n=1
(1)
an =
1
2
2. Jeśli ∞ |an | + |bn |
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)