Rodzaje aproksymacji 0 4 8 12 -4 0 4 8 x 0 x 1 x 2 x 3 -4 0 4 8 max |F(x)-f(x)| -4 0 4 8 a b 0 4 8 12 x 0 x 1 x 2 x 3 0 4 8 12 0 2 4 6 8 10 12 a b aproksymacja interpolacyjna aproksymacja jednostajna aproksymacja ś redniokwadratowa Twierdzenie Weierstrassa mówi, że dla dowolnej funkcji f(x) można znaleźć wielomian o dowolnie małym odchyleniu maksymalnym od tej funkcji. Brak metod ogólnych na znalezienie najlepszego wielomianu stopnia n jednostajnie przybliżającego daną funkcję. [ ] ( ) ( ) min max , = − ∈ x f x F b a x ( ) ( ) min 2 = − ∫ b a dx x f x F Aproksymacja dyskretna średniokwadratowa Niech będą dane wartości funkcji f(x) w punktach x 1 , x2 , ... xN . Funkcję f(x) będziemy aproksymowa ć inną funkcją F(x) zwaną funkcj ą aproksymuj ą c ą , lub przybli ż eniem funkcji f(x) . N i e x f p p p x F , , 1 ) ( ) , , , ( K K = = − i e x f p p p x F i i k i , 1 ) ( ) , , , ( 1 0 K = = − e e e e N v M = 2 1 Aproksymacja Aproksymacja sformułowana w powyższy sposób polega na takim dobraniu parametrów p 0,p1,. . .pk by spełnione było określone kryterium dotyczące minimalizacji wektora (tj. wektora odchyłek). e r ∑ = = = N i i e e l 1 1 1 v -3640 -3600 ∑ ∑ = = = = N i i i e e l 1 2 2 2 1 1 v m N i m i m m e e l 1 1 = = ∑ = v l e e i i ∞ ∞ = = v max udowodnić, że dla m 6∞ ∞ → l l m -15560 -15540 -15520 -15500 -15480 -15460 -3760 -3720 -3680 -3640 Aproksymacja Funkcja F(x,p 0,p1,. . .pk) ma najczęściej postać kombinacji liniowej funkcji bazowych ϕ ϕ ϕ o k , ,... 1 F x p p p p x o k i i i k ( , , ,... ) ( ) 1 0 = = ∑ ϕ Podstawowe funkcje bazowe używane w aproksymacji to: - jednomiany {1,x,x2,x3,. . .xk} - jednomiany {1,x,x2,x3,. . .xk - wielomiany Czebyszewa - wielomiany Legendre’a - funkcje trygonometryczne { } 1 2 2 , cos ,sin , cos ,sin ,...cos ,sin x x x x kx kx Aproksymacja Liniowa aproksymacja średniokwadratowa (metoda najmniejszych kwadratów). ( ) ( ) k N i i i N i k j i i j j i i k p p p H e x w f x p x w f p p p x F , ,
(…)
… daje minimum funkcji H. Ponadto z uwagi na to
iż macierz ta jest macierzą symetryczną i dodatnie określoną
rozwiązanie dające konkretny układ współczynników
p0,p1, . . . pk jest jednoznaczne.
Aproksymacja
Aproksymacja liniowa y=p0+p1x ( ϕ 0 ( x) ≡ 1, ϕ1 ( x) ≡ x ).
1 x1 y1
1 x y
2 2
1 1 . . . 1 . . p0 1 1 . . . 1 .
x ⋅ ⋅ =
1 x2 . . . xn . . p1…
… a=A otrzymujemy funkcję liniową Yi=A+bxi
współczynnik a równania (1)obliczamy z zależności a=eA.
Podobnie logarytmizując drugi wzór otrzymujemy ln y i = ln a + b ln x i
i po podstawieniu ln yi= Yi , ln xi=Xi otrzymujemy funkcję liniową Yi=A+BXi
Kolejne dwa wzory można sprowadzić do postaci liniowej wprowadzając oznaczenia
1 1
Yi = dla (3) i x = X i dla (4). W ostatnim przypadku podstawiamy Xi=ln xi.
yi…
…
N
bk =
N
∑ f ( x ) sin N
l
kl
l =1 l =1
Aproksymacja trygonometryczna
Jeżeli liczba funkcji bazowych użytych do aproksymacji jest równa ilości
punktów to wzór ten jest w istocie wzorem interpolującym, gdyż wartość
szeregu Fouriera w punkcie xi jest równa wartości funkcji aproksymowanej w
tym punkcie.
L
2π L 2π
F ( xl , ak , bk ) = a0 + ∑ ak cos kl + ∑ bk sin kl
k =1 N k…
… to minimalizacja średniokwadratowa wyrażenia
L
H = ∑ [ f ( xl ) − F ( xl , ak , bk )]
2
l =1
prowadzi do układu równań normalnych z których można
obliczyć wartości współczynników ak i bk , k=1,. . . L. Okaże
się że otrzymujemy wyrażenia identyczne ze wzorami
określającymi współczynniki szeregu Fouriera tj.
1 N
2 N
2π 2 N
2π
a0 =
N
∑i =1
f ( xl ) ak =
N
∑ f ( xl ) cos kl
N
bk =
N
∑ f ( x ) sin N
l…
… k =1
1 L
2π 2π
a0 + ∑ ak cos kl + bk sin kl
2 k =1 N N
Proszę samodzielnie udowodnić, że część urojona jest równa 0.
Dyskretna transformacja Fouriera
∞
∫ f ( x )e
− iωx
Ciągła para F (ω ) = dx −1 = i
−∞
transformat ∞
1
∫ F (ω )e
iωx
Fouriera f ( x) = dω
2π −∞
Dyskretna para transformat Fouriera
N 2π
−i mk
Fk = ∑ f m e N
Transformacja prosta
m =1
k = 1, K N
N 2π
1 i mk…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)