Fragment notatki:
IX. Rachunek całkowy
1. Całka nieoznaczona
Niech F : I → R i f : I → R będą funkcjami określonymi na pewnym przedziale I ⊂ R.
Definicja 1. Funkcję F nazywamy funkcją pierwotną funkcji f na przedziale I, gdy
F (x) = f (x)
dla
x ∈ I.
Zauważmy, że jeżeli F jest funkcją pierwotną funkcji f , to dla dowolnej stałej C ∈ R
(F (x) + C) = F (x) + 0 = f (x).
Zatem F + C jest inną funkcją pierwotną tej samej funkcji f na przedziale I. Co więcej, jeśli F1 i
F2 są dwiema różnymi funkcjami pierwotnymi tej samej funkcji f na przedziale I, to
(F2 (x) − F1 (x)) = F2 (x) − F1 (x) = f (x) − f (x) = 0.
Ale z powyższego i z własności pochodnej wynika, że funkcja F2 −F1 jest stała, tzn. F2 (x)−F1 (x) = C
dla pewnej stałej C ∈ R, czyli
F2 (x) = F1 (x) + C.
Podsumowując, wyrażenie F (x) + C, gdzie F jest ustaloną funkcją pierwotną funkcji f , a C jest
dowolną stałą rzeczywistą, jest ogólną postacią funkcji pierwotnej funkcji f , czyli funkcji która ma
pochodną równą f (x).
Definicja 2. Wyrażenie F (x) + C nazywamy całką nieoznaczoną funkcji f , co zapisujemy1
f (x)dx = F (x) + C.
Uwaga 7. Symbol f (x)dx nie jest jednoznaczny. Każda funkcja ma nieskończenie wiele funkcji
pierwotnych różniących się o stałą. Zatem symbol f (x)dx należy rozumieć jako ustaloną funkcję
pierwotną funkcji f z dokładnością do dodanej dowolnej stałej C, zwanej stałą całkowania.
Twierdzenie 1. Każda funkcja ciągła w przedziale I posiada w tym przedziale funkcję pierwotną.
Inaczej mówiąc każda funkcja ciągła posiada całkę nieoznaczoną.
1
Przykład 1. Funkcja F (x) = 3 x3 , x ∈ R jest funkcją pierwotna funkcji f (x) = x2 , x ∈ R, gdyż
1
3−1 = x2 dla x ∈ R. Zatem piszemy
F (x) = 3 · 3x
x2 dx = 1 x3 + C.
3
1
R
Symbol wprowadził matematyk i filozof niemiecki Gottfried Leibniz (1646–1716). Jest to stylizowana litera S
od łacińskiego słowa summa, czyli suma.
IX. Rachunek całkowy
Przykład 2. Funkcją pierwotną funkcji f (x) =
F1 (x) = ln x, gdyż dla x ∈ (0, +∞)
1
x,
x 0 na przedziale I1 = (0, +∞) jest funkcja
1
.
x
Rozważmy funkcję F2 (x) = ln(−x), x 0, a = 1
arctg x + C
a
ln
a + x2 dx =
x
2
x
2
√
+C
a + x2 +
a
2
ln |x +
√
x2 + a| + C
√
x
a − x2 + a arcsin √a + C
2
√
= ln |x + a + x2 | + C
a − x2 dx =
√ dx
a+x2
x−a
x+a
sin xdx = − cos x + C
√ dx
a−x2
x
= arcsin √a + C
cos xdx = sin x + C
ln xdx = x ln x − x + C
Przy całkowaniu wielu funkcji korzystamy z następujących twierdzeń
Twierdzenie 2. Jeżeli funkcje f i g posiadają funkcje pierwotne, to funkcje f + g i f − g oraz λ · f ,
gdzie λ ∈ R, posiadają funkcje pierwotne i
f (x) + g(x) dx =
f (x)dx +
g(x)dx,
f (x) − g(x) dx =
f (x)dx −
g(x)dx,
λf (x)dx = λ
f (x)dx.
Przykład 3.
(x2 − 1)2 dx =
(x4 − 2x2 + 1)dx =
x4 dx − 2
x2 dx +
1dx = 1 x5 − 2 x3 + x + C.
5
3
70
IX. Rachunek całkowy
Twierdzenie 3 (o całkowaniu przez części). Jeżeli funkcje f i g są różniczkowalne w przedziale I,
to
f (x)g (x)dx = f (x)g(x) −
f (x)g(x)dx.
Przykład 4.
xe dx =
f (x) = x,
g (x) = ex
f (x) = 1,
x
ex
g(x) =
= xex −
ex dx = xex − ex + C.
Twierdzenie 4 (o całkowaniu przez podstawienie). Niech I oraz J będą przedziałami. Jeżeli:
1) funkcja ω : J → I jest różniczkowalna w przedziale J,
2) funkcja F : I → R jest funkcją pierwotną funkcji f : I → R, tzn.2
f (t)dt = F (t) + C,
to funkcja F ◦ ω jest funkcją pierwotną funkcji f ◦ ω · ω , tzn.
f ω(x) ω (x)dx = F (ω(x)) + C.
Przykład 5.
ln x
x dx
=
1
ln x · x dx = t = ln x, dt = 1 dx =
x
tdt = 1 t2 + C = 1 (ln x)2 + C.
2
2
Własność 4. Niech F będzie funkcją pierwotną funkcji f w przedziale I. Wówczas
1
f (ax + b)dx = a F (ax + b) + C.
W szczególności:
1
f (ax)dx = a F (ax) + C
oraz
f (x + b)dx = F (x + b) + C.
Przykład 6.
sin 2xdx = − 1 cos 2x + C
2
oraz
sin(x − 3)dx = − cos(x − 3) + C.
Własność 5. Jeśli f jest funkcją różnoczkowalną w przedziale I, to
1) przy założeniu, że f (x) = 0 dla x ∈ I
f (x)
dx = ln |f (x)| + C,
f (x)
2) przy założeniu, że f (x) 0 dla x ∈ I
f (x)
f (x)
dx = 2 f (x) + C.
2
´
R `
R
Wzór na całkowanie przez podstawienie podaje się też w wygodnej postaci f ω(x) ω (x)dx = f (t)dt, gdzie
po prawej stronie wprowadzono nową zmienną całkowania t = ω(x). Po obliczeniu całki po prawej stronie należy
podstawić za t funkcję ω(x).
71
IX. Rachunek całkowy
Przykład 7.
2x
dx = ln |x2 + 1| + C = ln(x2 + 1) + C
+1
oraz
x2
√
2x
dx = 2 x2 + 1 + C.
x2 + 1
Twierdzenie 5. Całkę z funkcji wymiernej R wyznacza się rozbijając R na sumę ułamków prostych
i wielomianu. Sprowadza sie w ten sposób obliczenie całki z funkcji wymiernej do obliczenia sumy
całek z wielomianu i ułamków prostych czyli funkcji wymiernych postaci
A
(x + a)n
oraz
(x2
Ax + B
,
+ px + q)m
gdzie p2 − 4q b przyjmujemy
b
a
f (x)dx = −
a
f (x)dx,
b
jeśli a = b, to przyjmujemy
a
f (x)dx = 0.
a
72
IX. Rachunek całkowy
Twierdzenie 6. Każda funkcja ciągła w przedziale a, b jest w tym przedziale całkowalna.
Twierdzenie 7. Każda funkcja ograniczona w przedziale a, b i mająca w nim tylko skończoną liczbę
punktów nieciągłości jest całkowalna.
Twierdzenie 8. Każda funkcja monotoniczna i ograniczona jest całkowalna.
Twierdzenie 9. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale a, b oraz λ ∈ R, to funkcje f + g,
f − g, λf , f · g są całkowalne w przedziale a, b . Ponadto
b
b
b
a
g(x)dx,
f (x)dx +
f (x) + g(x) dx =
a
a
b
b
b
f (x)dx −
f (x) − g(x) dx =
a
g(x)dx,
a
a
b
b
f (x)dx.
λf (x) dx = λ
a
a
Twierdzenie 10. Jeżeli funkcja f jest całkowalna w przedziale a, b oraz c ∈ a, b , to
b
c
b
c
a
a
f (x)dx.
f (x)dx +
f (x)dx =
Twierdzenie 11. Jeżeli funkcje f i g są całkowalne w przedziale a, b i f (x)
x ∈ a, b , to
b
g(x) dla każdego
b
f (x)dx
a
g(x)dx.
a
Twierdzenie 12 (Podstawowe twierdzenie rachunku całkowego). Niech f : a, b → R i niech
F : a, b → R będzie funkcją ciągłą w przedziale domkniętym a, b . Jeśli F jest funkcją pierwotną
funkcji f w przedziale otwartym (a, b), to
b
f (x)dx = F (a) − F (b).
a
Uwaga 8. Powyższe twierdzenie daje zwiazek między całką oznaczoną a całką nieoznaczoną (funkcją
b
pierwotną). Często prawą stronę powyższego wzoru zapisujemy w postaci F (x) a albo w postaci
F (x)
b
a
albo też F (x)
x=b
.
x=a
Zatem powyższy wzór można napisać jako
b
b
f (x)dx = F (x) a .
a
Przykład 9.
1√
1
xdx =
0
1
x 2 dx =
0
3
2 2 1
3x 0
=
2
3
2
− 0 = 3.
Przykład 10.
π
sin xdx = − cos x
0
π
0
= − cos π − (− cos 0) = −(−1) + 1 = 2.
Przykład 11. Dla dowolnego b 1
b
1
dx
= ln x
x
b
1
= ln b − ln 1 = ln b − 0 = ln b.
Stąd też inna definicja liczby e jako jedynej liczby rzeczywistej b o tej własności, że
b dx
1 x
= 1.
73
IX. Rachunek całkowy
3. Interpretacja geometryczna całki oznaczonej Riemanna
Niech f i g będą funkcjami całkowalnymi w przedziale domkniętym a, b . Całka oznaczona ma
prostą interpretację geometryczną w prostokątnym układzie współrzędnych.
Twierdzenie 13. Jeżeli f (x)
układem nierówności
g(x) dla każdego x ∈ a, b , to pole P obszaru płaskiego określonego
a x b,
f (x) y g(x)
równa się całce oznaczonej
b
g(x) − f (x) dx.
P =
a
Przykład 12. Pole obszaru opisanego układem nierówności
−1 x 1,
x2 − 1 y 1 − x2
jest równe
1
1
1 − x2 − (x2 − 1) dx =
P =
−1
−1
2
(2 − 2x2 )dx = 2x − 3 x3
1
−1
2
= (2 − 2 ) − (−2 + 3 ) = 2 2 .
3
3
Przykład 13. Obliczymy pole koła o promieniu r 0 i środku w punkcie S = (0, 0). Jest to figura
opisana w prostokątnym układzie współrzędnych nierównościami
−r x r,
√
− r 2 − x2 y
√
r 2 − x2 .
Zatem pole koła jest równe
r
r
r2 − x2 − (− r2 − x2 ) dx =
P =
2
r2 − x2 dx = x
−r
−r
r2 − x2 + r2 arcsin x
r
r
−r
=
= (0 + r2 arcsin 1) − (0 + r2 arcsin(−1)) = r2 π − r2 (− π ) = πr2 ,
2
2
gdyż wartość arcsin 1 =
π
2
oraz arcsin(−1) = − π .
2
Przykład 14. Pole obszaru opisanego nierównościami
0 x 1,
√
x2 y
x
jest równe
1
P =
0
√
( x − x2 )dx =
3
2 2
3x
− 1 x3
3
1
0
= ( 2 − 1 ) − (0 − 0) = 1 .
3
3
3
Przykład 15. Pole obszaru opisanego nierównościami
−1 x
0 y
1,
1
1+x2
jest równe
1
P =
−1
1
( 1+x2 − 0)dx = arctg x
1
−1
= arctg 1 − arctg(−1) =
π
4
− (− π ) = π .
4
2
74
IX. Rachunek całkowy
4. Inne zastosowanie całki oznaczonej
Twierdzenie 14. Jeżeli funkcja f ma ciągłą pochodną f w przedziale a, b , to długość łuku krzywej
na płaszczyźnie opisanej równaniem y = f (x) dla x ∈ a, b , wyraża się wzorem
b
2
L=
1 + f (x) dx.
a
Przykład 16. Obliczymy długość tak zwanej krzywej łańcuchowej, tzn. krzywej, której kształt
przyjmują na przykład druty telegraficzne roziągnięte miedzy słupami lub mosty ugięte pod własnym
ciężarem. Krzywa ta ma równanie
1
y = 2 (ex + e−x ),
x ∈ −a, a ,
1
gdzie a 0. Niech f (x) = 1 (ex + e−x ), x ∈ −a, a . Wtedy f (x) = 2 (ex − e−x ), a więc długość
2
krzywej łańcuchowej wynosi
a
L=
−a
a
=
−
a
2
1 + f (x) dx =
1
2
−a
−a
e
1 x
2 (e
1+
−a
1 x
2e
a
2
+ 1 e−x dx =
2
−a
1
2
a
2
− e−x ) dx =
−a
ex + e−x dx =
ex − e−x
1
2
1 2x
4e
a
−a
+
=
1
2
1
2
+ 1 e−2x dx =
4
ea − e−a
− ea = ea − e−a .
Twierdzenie 15. Niech f będzie funkcją posiadającą ciągłą pochodną w przedziale a, b i taką, że
f (x) 0 dla wszystkich x ∈ a, b . Jeżeli F jest figurą płaską określoną nierównościami
a
0
x
y
b,
f (x),
to obracając figurę F dookoła osi x otrzymujemy figurę G, której:
1) objętość V wyraża się wzorem
b
2
V =π
f (x) dx,
a
2) pole powierzchni bocznej S wyraża się wzorem
b
S = 2π
2
1 + f (x) dx.
f (x)
a
Przykład 17. Obliczymy objętość figury powstałej przez obrót krzywej y =
b
V =π
0
b
√
( x)2 dx = π
xdx = π
0
1 2 b
2x 0
=
√
x dla x ∈ 0, b .
πb2
2 .
75
IX. Rachunek całkowy
5. Całka niewłaściwa
Niech f : a, b) → R będzie funkcją całkowalną w każdym przedziale domkniętym a, β , gdzie
a
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)