Szeregi liczbowe - omówienie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 70
Wyświetleń: 686
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Szeregi liczbowe - omówienie - strona 1 Szeregi liczbowe - omówienie - strona 2 Szeregi liczbowe - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

V. Szeregi liczbowe
1. Podstawowe pojęcia
Niech (an ) będzie pewnym nieskończonym ciągiem liczbowym, (Sn ) zaś ciągiem, którego n-tym
wyrazem jest suma n początkowych wyrazów ciągu (an ).
Definicja 1. Ciąg (Sn ) sum
n
Sn =
(1)
ak
k=1
nazywamy szeregiem liczbowym nieskończonym, który symbolicznie oznaczamy

an
(2)
lub
a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
Liczby a1 , a2 , . . . nazywamy wyrazami szeregu (2), wyrazy ciągu (Sn ) – sumami częściowymi
szeregu (2), n − ty wyraz ciągu (Sn ), czyli
n
Sn = a1 + a2 + . . . + an =
ak
k=1
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu (2), wyraz an szeregu (2) – wyrazem ogólnym szeregu (2).
Definicja 2. Szereg

n=1
1
,

gdzie α ∈ R, nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α. W szczególności dla α = 1 otrzymujemy
szereg

1
,
n
n=1
który nazywamy krótko szeregiem harmonicznym.
Definicja 3. Szereg


n+1
(−1)
an ,
lub
n=1
gdzie an
(−1)n an ,
n=1
0 dla każdego naturalnego n, nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Definicja 4. Szeregiem geometrycznym o ilorazie q nazywamy szereg

a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + . . . ,
aq n−1 .
czyli
n=1
V. Szeregi liczbowe
2. Suma szeregu
Definicja 5. Szereg (2) nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych (Sn ) jest zbieżny do liczby
S. Piszemy wówczas

a1 + a2 + . . . + an + . . . = S
an = S.
lub
n=1
Liczbę S nazywamy sumą szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
Przykład 1. Na podstawie definicji wykażemy, że szereg

n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
Po pierwsze n-ta suma częściowa danego szeregu jest równa
Sn =
1
1
1
+
+ ... +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi tożsamość
1
1
1
= −
,
n(n + 1)
n n+1
zatem
Sn =
1 1
1 1
1
1
1
1 1

+

+

+ ... +

=1−
,
1 2
2 3
3 4
n n+1
n+1
skąd
1
= 1.
n→∞
n→∞
n+1
A więc podany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1, co zapisujemy
lim Sn = lim

n=1
Przykład 2. Pokażemy, że szereg

1−
1
= 1.
n(n + 1)


( n + 1 − n)
n=1
jest rozbieżny.
Zauważmy, że n-ta suma częściowa tego szeregu jest równa









Sn = ( 2 − 1) + ( 3 − 2) + ( 4 − 3) + . . . + ( n + 1 − n) = −1 + n + 1,
zatem
lim Sn = lim (−1 +
n→∞
n→∞

n + 1) = +∞,
co oznacza, że podany szereg jest rozbieżny.
Okazuje się, że każdy szereg zbieżny musi spełniać pewnien prosty do sprawdzenia warunek.
Twierdzenie 1 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeżeli szereg

an
n=1
jest zbieżny, to
lim an = 0.
n→∞
36
V. Szeregi liczbowe
Ale nie jest to warunek dostateczny (wystarczający). Przykładem niech będzie szereg



( n + 1 − n),
n=1
dla którego zachodzi


lim ( n + 1 − n) = lim √
1
√ = 0,
n→∞
n→∞
n+1+ n
a szereg ten, jak wykazaliśmy w przykładzie 2, jest rozbieżny.
Z niespełnienia warunku koniecznego wynika rozbieżność wielu szeregów, np. szeregi



1,
n=1


(−1)n ,
n,
n=1
n=1
2n ,
n=1
n=1
n+1
,
n+2
sa rozbieżne, gdyż nie spełniają warunku koniecznego zbieżności.
Twierdzenie 2. Szereg geometryczny jest:
a
1) zbieżny do sumy S = 1−q , gdy jego iloraz q spełnia warunek |q| 1,
2) rozbieżny dla α 1.
Z powyższego twierdzenia wynika, na przykład, że szeregi

n=1
są zbieżne, zaś szeregi
1
,
n2

n=1
1
,
n

1
√ ,
n n
n=1

1
√ ,
n
n=1

n=1

n=1
1

3
n4
1

3
n2
są rozbieżne.
37
V. Szeregi liczbowe
Definicja 6. Mówimy, że szereg

an
n=1
jest bezwzględnie zbieżny, gdy szereg

|an |
n=1
jest zbieżny.
Twierdzenie 4. Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
1
Przykład 5. Ponieważ |(−1)n n2 | =
1
n2
i szereg

1
n2
n=1
jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2, to szereg

n=1
(−1)n
n2
jest bezwzględnie zbieżny (a zatem jest zbieżny w zwykłym sensie).
Twierdzenie 5. Jeżeli szeregi


an
bn
i
n=1
są zbieżne, to szeregi
n=1


(an − bn )
(an + bn ),
n=1
n=1
są zbieżne i


(an + bn ) =
n=1


an +
n=1


(an − bn ) =
bn ,
n=1
n=1
an −
n=1
bn .
n=1
Przykład 6. Z powyższego twierdzenia wynika, że szereg

n=1
2n + 3n
5n
jest zbieżny, gdyż

n=1
2n + 3n
=
5n

n=1
2
5
n
+
3
5

n
=
n=1
2
5

n
+
n=1
3
5
n
=
2
5
1−
2
5
+
3
5
1−
3
5
=
2 3
13
+ = .
3 2
6
Twierdzenie 6. Niech c będzie ustaloną liczbą rzeczywistą różną od 0. Jeśli szereg

an
n=1
jest zbieżny (rozbieżny), to szereg

can
n=1
jest zbieżny (rozbieżny). Co więcej dla szeregów zbieżnych


can = c
n=1
an .
n=1
38
V. Szeregi liczbowe
Na ogół trudno jest wyznaczyć sumę danego szeregu. Na przykład wiadomo, że

n=1
1
π2
=
,
n2
6
lecz odkrycie tego wzoru nie jest rzeczą prostą i wymaga głebszej wiedzy. Ponadto do tej pory nie
potrafimy znaleźć sum innych szeregów harmonicznych rzędów α 1.
Mając na uwadze powyższe trudności, często zadowalamy się informacją dotyczącą zbieżności
lub rozbieżności danego szeregu. Twierdzenia ułatwiające odpowiedź na to pytanie noszą nazwę
kryteriów zbieżności.
3. Kryteria zbieżności szeregów
Twierdzenie 7 (kryterium porównawcze). Jeżeli wyrazy szeregów


an
bn
i
n=1
n=1
są nieujemne oraz istnieje taka liczba naturalna n0 , że dla każdego n
an
n0 spełniona jest nierówność
bn ,
to:

1) ze zbieżności szeregu

bn wynika zbieżność szeregu
n=1

an ,
n=1

bn .
an wynika rozbieżność szeregu
2) z rozbieżności szeregu
n=1
n=1
Przykład 7. Zbadamy zbieżność szeregów

n=1
1
n(n + 3)

oraz
n=1
n2
.
+1
n3
Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność n + 3 n, to wyraz ogólny
pierwszego szeregu można oszacować następująco:
an =
1
n(n + 3)
Ale szereg
1
1
= 2.
n·n
n

1
n2
n=1
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α = 2, zatem na mocy kryterium porównawczego pierwszy
szereg jest zbieżny.
Podobnie, ponieważ dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność n3 + 1 n3 + n3 ,
to wyraz ogólny drugiego szeregu można oszacować następująco:
an =
n2
n3 + 1
Ale szereg
n2
1
=
.
3
2n
2n

n=1
1
n
jest rozbieżny jako harmoniczny rzędu α = 1, tym bardziej szereg

n=1
1
=
2n

n=1
1 1
· ,
2 n
zatem na podstawie kryterium porównawczego drugi szereg jest rozbieżny.
39
V. Szeregi liczbowe
Twierdzenie 8 (kryterium graniczne). Jeśli spełnione są warunki:
1) an 0, bn 0 dla wszystkich n ∈ N,
n
2) lim an = g ∈ R,
b
n→∞


bn wynika zbieżność szeregu
to ze zbieżności szeregu
n=1

an . Ponadto, jeśli g 0 lub g = +∞, to
n=1

bn wynika rozbieżność szeregu
z rozbieżnosci szeregu
n=1
an .
n=1
Przykład 8. Szereg

n=1
1
−5
6n2
jest zbieżny na podstawie kryterium granicznego, gdyż
1
6n2 −5
1
n→∞
n2
lim
n2
1
= ∈R
−5
6
= lim
n→∞ 6n2
oraz szereg

n=1
1
n2
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α = 2.
Twierdzenie 9 (kryterium d’Alemberta). Jeżeli an = 0 dla wszystkich n ∈ N i istnieje granica
lim
n→∞
an+1
= g 1, to szereg ten jest rozbieżny.
Przykład 9. Dla każdej liczby rzeczywistej x szereg

(−1)n+1
n=1
x2n−1
(2n − 1)!
jest bezwzględnie zbieżny. Istotnie, ponieważ
2n+1
lim
n→∞
x
(−1)n+2 (2n+1)!
|x|2
= 0 1, to szereg ten jest rozbieżny.
40
V. Szeregi liczbowe
Przykład 10. Szereg

n=1
n2
2n
jest bezwzględnie zbieżny na podstawie kryterium Caychy’ego, gdyż
lim
n→∞
n

n2
( n n)2
1
= lim
= ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz