V. Szeregi liczbowe
1. Podstawowe pojęcia
Niech (an ) będzie pewnym nieskończonym ciągiem liczbowym, (Sn ) zaś ciągiem, którego n-tym
wyrazem jest suma n początkowych wyrazów ciągu (an ).
Definicja 1. Ciąg (Sn ) sum
n
Sn =
(1)
ak
k=1
nazywamy szeregiem liczbowym nieskończonym, który symbolicznie oznaczamy
∞
an
(2)
lub
a1 + a2 + . . . + an + . . .
n=1
Liczby a1 , a2 , . . . nazywamy wyrazami szeregu (2), wyrazy ciągu (Sn ) – sumami częściowymi
szeregu (2), n − ty wyraz ciągu (Sn ), czyli
n
Sn = a1 + a2 + . . . + an =
ak
k=1
nazywamy n-tą sumą częściową szeregu (2), wyraz an szeregu (2) – wyrazem ogólnym szeregu (2).
Definicja 2. Szereg
∞
n=1
1
,
nα
gdzie α ∈ R, nazywamy szeregiem harmonicznym rzędu α. W szczególności dla α = 1 otrzymujemy
szereg
∞
1
,
n
n=1
który nazywamy krótko szeregiem harmonicznym.
Definicja 3. Szereg
∞
∞
n+1
(−1)
an ,
lub
n=1
gdzie an
(−1)n an ,
n=1
0 dla każdego naturalnego n, nazywamy szeregiem naprzemiennym.
Definicja 4. Szeregiem geometrycznym o ilorazie q nazywamy szereg
∞
a + aq + aq 2 + . . . + aq n−1 + . . . ,
aq n−1 .
czyli
n=1
V. Szeregi liczbowe
2. Suma szeregu
Definicja 5. Szereg (2) nazywamy zbieżnym, jeżeli ciąg sum częściowych (Sn ) jest zbieżny do liczby
S. Piszemy wówczas
∞
a1 + a2 + . . . + an + . . . = S
an = S.
lub
n=1
Liczbę S nazywamy sumą szeregu. Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.
Przykład 1. Na podstawie definicji wykażemy, że szereg
∞
n=1
1
n(n + 1)
jest zbieżny.
Po pierwsze n-ta suma częściowa danego szeregu jest równa
Sn =
1
1
1
+
+ ... +
.
1·2 2·3
n(n + 1)
Zauważmy, że dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi tożsamość
1
1
1
= −
,
n(n + 1)
n n+1
zatem
Sn =
1 1
1 1
1
1
1
1 1
−
+
−
+
−
+ ... +
−
=1−
,
1 2
2 3
3 4
n n+1
n+1
skąd
1
= 1.
n→∞
n→∞
n+1
A więc podany szereg jest zbieżny i jego suma jest równa 1, co zapisujemy
lim Sn = lim
∞
n=1
Przykład 2. Pokażemy, że szereg
∞
1−
1
= 1.
n(n + 1)
√
√
( n + 1 − n)
n=1
jest rozbieżny.
Zauważmy, że n-ta suma częściowa tego szeregu jest równa
√
√
√
√
√
√
√
√
√
Sn = ( 2 − 1) + ( 3 − 2) + ( 4 − 3) + . . . + ( n + 1 − n) = −1 + n + 1,
zatem
lim Sn = lim (−1 +
n→∞
n→∞
√
n + 1) = +∞,
co oznacza, że podany szereg jest rozbieżny.
Okazuje się, że każdy szereg zbieżny musi spełniać pewnien prosty do sprawdzenia warunek.
Twierdzenie 1 (warunek konieczny zbieżności szeregu). Jeżeli szereg
∞
an
n=1
jest zbieżny, to
lim an = 0.
n→∞
36
V. Szeregi liczbowe
Ale nie jest to warunek dostateczny (wystarczający). Przykładem niech będzie szereg
∞
√
√
( n + 1 − n),
n=1
dla którego zachodzi
√
√
lim ( n + 1 − n) = lim √
1
√ = 0,
n→∞
n→∞
n+1+ n
a szereg ten, jak wykazaliśmy w przykładzie 2, jest rozbieżny.
Z niespełnienia warunku koniecznego wynika rozbieżność wielu szeregów, np. szeregi
∞
∞
∞
1,
n=1
∞
∞
(−1)n ,
n,
n=1
n=1
2n ,
n=1
n=1
n+1
,
n+2
sa rozbieżne, gdyż nie spełniają warunku koniecznego zbieżności.
Twierdzenie 2. Szereg geometryczny jest:
a
1) zbieżny do sumy S = 1−q , gdy jego iloraz q spełnia warunek |q| 1,
2) rozbieżny dla α 1.
Z powyższego twierdzenia wynika, na przykład, że szeregi
∞
n=1
są zbieżne, zaś szeregi
1
,
n2
∞
n=1
1
,
n
∞
1
√ ,
n n
n=1
∞
1
√ ,
n
n=1
∞
n=1
∞
n=1
1
√
3
n4
1
√
3
n2
są rozbieżne.
37
V. Szeregi liczbowe
Definicja 6. Mówimy, że szereg
∞
an
n=1
jest bezwzględnie zbieżny, gdy szereg
∞
|an |
n=1
jest zbieżny.
Twierdzenie 4. Każdy szereg bezwzględnie zbieżny jest zbieżny.
1
Przykład 5. Ponieważ |(−1)n n2 | =
1
n2
i szereg
∞
1
n2
n=1
jest zbieżny, jako szereg harmoniczny rzędu 2, to szereg
∞
n=1
(−1)n
n2
jest bezwzględnie zbieżny (a zatem jest zbieżny w zwykłym sensie).
Twierdzenie 5. Jeżeli szeregi
∞
∞
an
bn
i
n=1
są zbieżne, to szeregi
n=1
∞
∞
(an − bn )
(an + bn ),
n=1
n=1
są zbieżne i
∞
∞
(an + bn ) =
n=1
∞
∞
an +
n=1
∞
∞
(an − bn ) =
bn ,
n=1
n=1
an −
n=1
bn .
n=1
Przykład 6. Z powyższego twierdzenia wynika, że szereg
∞
n=1
2n + 3n
5n
jest zbieżny, gdyż
∞
n=1
2n + 3n
=
5n
∞
n=1
2
5
n
+
3
5
∞
n
=
n=1
2
5
∞
n
+
n=1
3
5
n
=
2
5
1−
2
5
+
3
5
1−
3
5
=
2 3
13
+ = .
3 2
6
Twierdzenie 6. Niech c będzie ustaloną liczbą rzeczywistą różną od 0. Jeśli szereg
∞
an
n=1
jest zbieżny (rozbieżny), to szereg
∞
can
n=1
jest zbieżny (rozbieżny). Co więcej dla szeregów zbieżnych
∞
∞
can = c
n=1
an .
n=1
38
V. Szeregi liczbowe
Na ogół trudno jest wyznaczyć sumę danego szeregu. Na przykład wiadomo, że
∞
n=1
1
π2
=
,
n2
6
lecz odkrycie tego wzoru nie jest rzeczą prostą i wymaga głebszej wiedzy. Ponadto do tej pory nie
potrafimy znaleźć sum innych szeregów harmonicznych rzędów α 1.
Mając na uwadze powyższe trudności, często zadowalamy się informacją dotyczącą zbieżności
lub rozbieżności danego szeregu. Twierdzenia ułatwiające odpowiedź na to pytanie noszą nazwę
kryteriów zbieżności.
3. Kryteria zbieżności szeregów
Twierdzenie 7 (kryterium porównawcze). Jeżeli wyrazy szeregów
∞
∞
an
bn
i
n=1
n=1
są nieujemne oraz istnieje taka liczba naturalna n0 , że dla każdego n
an
n0 spełniona jest nierówność
bn ,
to:
∞
1) ze zbieżności szeregu
∞
bn wynika zbieżność szeregu
n=1
∞
an ,
n=1
∞
bn .
an wynika rozbieżność szeregu
2) z rozbieżności szeregu
n=1
n=1
Przykład 7. Zbadamy zbieżność szeregów
∞
n=1
1
n(n + 3)
∞
oraz
n=1
n2
.
+1
n3
Ponieważ dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność n + 3 n, to wyraz ogólny
pierwszego szeregu można oszacować następująco:
an =
1
n(n + 3)
Ale szereg
1
1
= 2.
n·n
n
∞
1
n2
n=1
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α = 2, zatem na mocy kryterium porównawczego pierwszy
szereg jest zbieżny.
Podobnie, ponieważ dla każdej liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność n3 + 1 n3 + n3 ,
to wyraz ogólny drugiego szeregu można oszacować następująco:
an =
n2
n3 + 1
Ale szereg
n2
1
=
.
3
2n
2n
∞
n=1
1
n
jest rozbieżny jako harmoniczny rzędu α = 1, tym bardziej szereg
∞
n=1
1
=
2n
∞
n=1
1 1
· ,
2 n
zatem na podstawie kryterium porównawczego drugi szereg jest rozbieżny.
39
V. Szeregi liczbowe
Twierdzenie 8 (kryterium graniczne). Jeśli spełnione są warunki:
1) an 0, bn 0 dla wszystkich n ∈ N,
n
2) lim an = g ∈ R,
b
n→∞
∞
∞
bn wynika zbieżność szeregu
to ze zbieżności szeregu
n=1
∞
an . Ponadto, jeśli g 0 lub g = +∞, to
n=1
∞
bn wynika rozbieżność szeregu
z rozbieżnosci szeregu
n=1
an .
n=1
Przykład 8. Szereg
∞
n=1
1
−5
6n2
jest zbieżny na podstawie kryterium granicznego, gdyż
1
6n2 −5
1
n→∞
n2
lim
n2
1
= ∈R
−5
6
= lim
n→∞ 6n2
oraz szereg
∞
n=1
1
n2
jest zbieżny jako harmoniczny rzędu α = 2.
Twierdzenie 9 (kryterium d’Alemberta). Jeżeli an = 0 dla wszystkich n ∈ N i istnieje granica
lim
n→∞
an+1
= g 1, to szereg ten jest rozbieżny.
Przykład 9. Dla każdej liczby rzeczywistej x szereg
∞
(−1)n+1
n=1
x2n−1
(2n − 1)!
jest bezwzględnie zbieżny. Istotnie, ponieważ
2n+1
lim
n→∞
x
(−1)n+2 (2n+1)!
|x|2
= 0 1, to szereg ten jest rozbieżny.
40
V. Szeregi liczbowe
Przykład 10. Szereg
∞
n=1
n2
2n
jest bezwzględnie zbieżny na podstawie kryterium Caychy’ego, gdyż
lim
n→∞
n
√
n2
( n n)2
1
= lim
=
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)