Szeregi liczbowe

Szeregi liczbowe
Zdefiniujmy w przestrzeni wektorowej pewną operację na ciągach, która jest uogólnieniemoperacji sumowania ciągów skończonych. 
Niech  X ,∥⋅∥ - przestrzeń unormowana
a 
- ciąg elementów z  Xn n∈ℕDefinicjan
Szeregiem o wyrazie ogólnym a
n
nazywamy ciąg Sn n∈ℕ , gdzie S :=∑ a  ,nkk=1
∞
i oznaczamy ten ciąg symbolem ∑ a . Element Skn
nazywamy n-tą sumą k=1
∞
cząstkową szeregu ∑ a .
      kk=1DefinicjaSzereg nazywamy zbieżnym, jeśli ciąg  S n n∈ℕ
 jest zbieżny do elementu przestrzeni X .  
∞
Element ten, czyli  lim S
nazywamy sumą szeregu  ∑ a  i oznaczamy również tymnkn ∞k =1
∞
samym symbolem  ∑ a .kk=1Definicja Szereg, który nie jest zbieżny nazywamy rozbieżnym.Uwaga
∞
Symbol  ∑ a ma dwa znaczenia:kk=1
∞a
   ● ∑
=S kn n∈ℕk=1
∞
∃ lim Sna
=n ∞
lim S =: S
 
   
  ● ∑ knk=1n ∞
- 1 -Przykłady
∞
1) ∑ qn - szereg geometryczny,  q ≠1,  q∈ℂn=0
Wtedyn
1−qn1S =∑ qk=n
1k=0
−q
∞
 
∑ qn - zbieżny ⇔  ∃lim Sn                                   n=0n ∞
1
1 
Aby istniała granica musi zachodzić |q|<1 i wtedy  lim −qn1 = n ∞
1−q
1−q
Stąd
∞
∑
1 qn=
 dla |q|<1.      
1n=0
−q
∞
1 
2)  ∑ nn=1
n1
                                 
 n
1 n
1
1 
1  1  1  1  1 
1 
1  1 
1 
1 S =∑
=∑  −
=1−  −  − ...
−  −
=1−nkkk
2
2  3  3 
4nnnnnk=1
k1 k=1
1
−1
1
1
1 
∞
∞
lim
1 
1 S =lim 1−
=1 ⇒n
 szereg  ∑
=1n ∞n ∞n1nnn=1
n1  jest zbieżny i  ∑n=1
n1
W przestrzeni Banacha ciąg jest zbieżny ⇔ jest ciągiem Cauchy'ego, stąd wynika
następujące twierdzenie:Twierdzenie (WKW zbieżności Cauchy'ego) Niech (X, ||.||)- przestrzeń Banachai niech  a ∈ X
dla k ∈ℕ.k
Wtedy
∞n
           ∑ a −zbieżny  ⇔ ∀0 ∃n ∈ℕ ∀ n ,m∈ ℕ , n m≤n
∥∑a∥k
0
0kk =1k=mDowód
∞
∑ a - zbieżny ⇔  S 
- zbieżny ⇔  S 
- ciąg Cauchy'ego ⇔             kn n∈ℕn n∈ℕk=1
                           ⇔   ∀ 0 ∃n ∈ℕ ∀ n , m∈ ℕ, n m−1≤n
−S
0
0
∥Sn m−1∥

- 2 -Twierdzenie (WK zbieżności szeregu)
∞
∑ a −zbieżny ⇒  lim a =0nnn=1n ∞Dowód
∞
∑ a −zbieżny ⇒ ∃lim S =S ⇒ ∃lim S =Snnn−1n=1n  ∞n  ∞
PonieważS =S
a
dla n≥2nn−1n
zatem
lim a =lim S −S
=S−S=0nnn−1n ∞n ∞
Uwaga
Warunek lim a =0 nie jest warunkiem wystarczającym zbieżności szeregu.

(…)

… szeregu.
n ∞
Przykład
∞
1
∑n
- szereg harmoniczny
n=1
Nazwa pochodzi od średniej harmonicznej liczb, bo a n jest średnią
harmoniczną a n−1 i a n1 , gdzie
1
średnia harmoniczba liczb a i b jest to
(odwrotność
1 1 1
  
2 a b
połowy sumy odwrotności tych liczb).
1
 0 ⇒ WK zbieżności szeregu zachodzi, jednak szereg jest rozbieżny.
n n ∞
∞
Hipoteza:
1
∑n
- zbieżny.
n=1
Wtedy
∃ lim S n =S ∈ℝ
n∞
 S 2 n…
…, to ∑ a n jest zbieżny.
an
n ∞
n=1
2) Jeśli lim sup
n∞
a n1
1
an
a
lub jeśli n1 ≥1
an
dla
n≥n0 ,
n0 ∈ℕ
}
-7-
∞
⇒
∑ a n−rozbieżny
n=1
rozbieżny
Uwaga
W pozostałych przypadkach kryterium nie rozstrzyga o zbieżności.
Dowód
ad.1)
a n1
. Zatem A1.
an
n∞
 A1.
Oznaczmy A :=lim sup
Niech 0
i

A
q
1
a n1
, więc prawie wszystkie wyrazy tego ciągu
an
Ponieważ A jest granicą górną ciągu
A=: q , tzn…
… ∈↘
oraz niech a n = f n dla n≥n0 .
}
∑
∞
⇒
- 10 -
n=n 0
∞
a n − zbieżny ⇔ ∫ f  x dx− zbieżna
n0

Przykłady
∞
1
1) ∑  , 1
n=1 n

 
1
1
lim sup  a n =lim  =lim n
n∞
n∞ n
n∞  n
n
n

=1 ⇒ kryterium Cauchy'ego nie roztrzyga o zbieżności
szeregu (zatem kryterium d'Alemberta też nie rozstrzyga)
1
Tworzymy funkcję ciągłą f :[ 1 ;∞ )  ℝ+ taką, aby f n=  .
n
1
Niech f  x=  dla x∈[ 1 ;∞ ).
x…
… rozbieżny.
Przykład
∞
∑ −1n−szereg rozbieżny, jednak po przegrupowaniu wyrazów możemy otrzymać
n=1
szereg zbieżny (lub rozbieżny), np.:
−11−11−11=000=0 (szereg zbieżny)
−11−11−1=−100=−1 (szereg zbieżny)
∞
−11−11−11=∑ −1n − rozbieżny
n=1
Zmiana porządku wyrazów szeregu
Niech n k k ∈ℕ - ciąg, w którym każda liczba naturalna występuje dokładnie raz.
∞
Wtedy szeregi…
... zobacz całą notatkę