Szeregi liczbowe-opracowanie

Nasza ocena:

3
Pobrań: 70
Wyświetleń: 525
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Szeregi liczbowe-opracowanie - strona 1 Szeregi liczbowe-opracowanie - strona 2 Szeregi liczbowe-opracowanie - strona 3

Fragment notatki:

M.Twardowska
Szeregi liczbowe
1
Szeregi liczbowe.
Def 1.
Jeżeli dany jest ciąg (an ) liczb rzeczywistych, to możemy utworzyć ciąg:
s1 = a1 ,
s2 = a1 + a2 ,
s3 = a1 + a2 + a3 ,
...,
n
ak ,
sn = a1 + a2 + . . . + an =
....
k=1

an , a ciąg s1 , s2 , s3 , . . . , sn , . . . nazywamy ciągiem sum częściowych
Mówimy wtedy, że dany jest szereg
n=1
tego szeregu.

Def 2.
an jest zbieżny, jeżeli ciąg jego sum częściowych (sn ) jest zbieżny, tzn.
Mówimy że szereg
n=1
ma skończoną granicę S. Granicę tę nazywamy sumą szeregu.
Gdy ta granica nie istnieje lub istnieje i jest nieskończona mówimy, że szereg jest rozbieżny.

Def 3.

an jest bezwzględnie zbieżny ⇔ szereg
Szereg
n=1
|an | jest zbieżny.
n=1

1
jest zbieżny, a jego suma S = 1.
n(n + 1)
n=1
1
1
1 1 1 1 1
1
1
1
= −
. Zatem sn = 1 − + − + − + . . . + −
Zauważmy, że:
n(n + 1)
n n+1
2 2 3 3 4
n n+1
Przyklad 1.
Szereg
a1
1
Czyli sn = 1 −
n+1


Przyklad 2.
Szereg
n=1
lim sn = lim
n→∞
n→∞
a2
1
1−
n+1
a3
an
=1=S
1
jest rozbieżny.
n
Sn = 1 +
1
1
1
+
+
2
3
4
1
21
1
22
+
1
1 1 1
+ + +
5 6 7
8
+ ...
1
23
Wyrazy tego szeregu zostały zgrupowane w taki sposób, że ostatni wyraz w każdym nawiasie to kolejna potęga
1
. Czyli w każdej grupie jest następująca suma:
liczby
2
1
1
1
1
+ k
+ k
+ ... + k
(k = 0, 1, . . .).
k+1
2
2 +2 2 +3
2 + 2k
1
1
1
Ostatni skladnik w tej sumie to
=
= k+1 . Jak widać każda taka suma składa się z 2k
2k + 2 k
2 · 2k
2
skladników. W każdej grupie najmniejszym wyrazem jest ostatni składnik, a więc sumę Sg wyrazów w każdej
1
1
grupie można oszacować następujaco: Sg 2k · k+1 = .
2
2
Takich grup jest oczywiście nieskończenie wiele, czyli całą sumę szeregu można oszacować następująco:

1
1
S lim 1 + n ·
= +∞, a więc szereg
jest rozbieżny.
n→∞
2
n

Uwaga:
n=1
an oznaczamy zarówno sam szereg jak i jego sumę.
Symbolem
n=1
Napisanie ogólnego wzoru na sumę częściową i obliczenie sumy szeregu jest na ogół niemożliwe lub bardzo
trudne. Poprzestajemy więc na stwierdzeniu tylko tego, czy szereg jest zbieżny (a więc ma skończoną sumę), czy
też rozbieżny (czyli jego suma jest nieskończona). Do tego celu służą rozmaite kryteria zbieżności szeregów.
M.Twardowska
Szeregi liczbowe
2

• Warunek konieczny zbieżności szeregu:
an :
lim an = 0
n→∞
n=1

Jest to warunek konieczny ale nie dostateczny, bo np. szereg
n=1
1
jest rozbieżny, a
n
lim
n→∞
1
=0
n
• Kryterium całkowe
Niech f : R → R będzie taką funkcją, że f (n) = an , dla n ∈ N Wtedy
+∞

an

jest zbieżny
f (x)dx
n=1

1
1
jest zbieżny

Przykład:
n=1
jest zbieżna

α1

Gdy α 0 i α = 1, skorzystamy z kryterium całkowego:

T
T
1
dx = lim
T →∞

1
dx = lim
T →∞

1
1
x
−α
dx = lim
T →∞
x1−α
1−α
1
T
= lim
1
T →∞
T 1−α
1

1−α 1−α
Granica ta jest skończona, gdy lim T 1−α 1 ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz