To tylko jedna z 2 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Wykład 15 Szeregi liczbowe ( an ) n∈ N – dowolny ciąg liczbowy (nieskończony); Definiujemy nowy ciąg ( Sn ) o wyrazie ogólnym Sn df = a 1 + · · · + an = n k =1 ak . Def. Ciąg liczbowy ( Sn ) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym an i oznaczamy: ∞ n =1 an = a 1 + a 2 + a 3 + · · · Szereg ∞ n =1 an nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa S = lim n→∞ Sn . W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny. Liczbę S nazywamy sumą szeregu ∞ n =1 an , piszemy też S = ∞ n =1 an . Def. Szeregi ∞ n =1 an i ∞ n =1 bn są równe ⇔ an = bn dla każdego n ∈ N. Sumą szeregów ∞ n =1 an i ∞ n =1 bn nazywamy szereg ∞ n =1 ( an + bn ). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i ∞ n =1 an = A oraz ∞ n =1 bn = B , to ∞ n =1 ( an + bn ) = A + B . Przyjmujemy ponadto: k · ∞ n =1 an = ∞ n =1 k · an dla dowolnej liczby rzeczywistej k . Tw.1 (WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli ∞ n =1 an jest zbieżny, to lim n→∞ an = 0. WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych Uwaga 1. Jeśli an 0, to ciąg sum ( Sn ) jest niemalejący. Zatem ciąg sum ( Sn ) jest zbieżny wtw gdy jest ograniczony z góry. Tw.2 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech m oznacza dowolną liczbę na- turalną. Jeżeli funkcja f jest nierosnąca i nieujemna na przedziale m ; + ∞ ), to szereg liczbowy ∞ n = m f ( n ) i całka + ∞ m f ( x ) dx są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. Tw.3 (kryterium porównawcze) Jeżeli ∞ n =1 an oraz ∞ n =1 bn są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz an bn dla n n 0, to 1. jeżeli szereg ∞ n =1 an jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg ∞ n =1 bn ; 1 2. jeżeli szereg ∞ n =1 bn jest zbieżny, to zbieżny jest szereg ∞ n =1 an . Tw.4 (kryterium d’Alemberta) Jeżeli ∞ n =1 an jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje gra- nica lim n→∞ an +1 an = g (właściwa lub niewłaściwa), to 1. jeśli 0 g 1, to szereg ∞ n =1 an jest rozbieżny. Tw.5 (kryterium Cauchy’go) Jeżeli ∞ n =1 an jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje granica lim n→∞ n √ an = g (właściwa lub niewłaściwa), to 1. jeśli 0 g 1, to szereg ∞ n =1 an jest rozbieżny. W obu twierdzeniach jeśli
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)