wykład 15, szeregi liczbowe

Nasza ocena:

3
Pobrań: 49
Wyświetleń: 616
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
wykład 15, szeregi liczbowe - strona 1 wykład 15, szeregi liczbowe - strona 2

Fragment notatki:


Wykład 15 Szeregi liczbowe ( an ) n∈ N – dowolny ciąg liczbowy (nieskończony); Definiujemy nowy ciąg ( Sn ) o wyrazie ogólnym  Sn df =  a 1 +  · · ·  +  an  = n k =1 ak . Def.  Ciąg liczbowy ( Sn ) nazywamy szeregiem liczbowym o wyrazie ogólnym  an  i oznaczamy: ∞ n =1 an  =  a 1 +  a 2 +  a 3 +  · · · Szereg ∞ n =1 an  nazywamy zbieżnym, jeśli istnieje granica właściwa  S  = lim n→∞ Sn . W przeciwnym wypadku szereg jest rozbieżny. Liczbę  S  nazywamy sumą szeregu ∞ n =1 an , piszemy też  S  = ∞ n =1 an . Def.  Szeregi ∞ n =1 an  i ∞ n =1 bn  są równe  ⇔ an  =  bn  dla każdego  n ∈  N. Sumą szeregów ∞ n =1 an  i ∞ n =1 bn  nazywamy szereg ∞ n =1 ( an  +  bn ). Jeżeli oba szeregi są zbieżne i ∞ n =1 an  =  A  oraz ∞ n =1 bn  =  B , to ∞ n =1 ( an  +  bn ) =  A  +  B . Przyjmujemy ponadto:  k · ∞ n =1 an  = ∞ n =1 k · an  dla dowolnej liczby rzeczywistej  k . Tw.1 (WK zbieżności szeregów liczbowych) Jeżeli ∞ n =1 an  jest zbieżny, to lim n→∞ an  = 0. WW zbieżności szeregów o wyrazach nieujemnych Uwaga 1.  Jeśli  an 0, to ciąg sum ( Sn ) jest niemalejący. Zatem ciąg sum ( Sn ) jest zbieżny wtw gdy jest ograniczony z góry. Tw.2 (kryterium całkowe zbieżności szeregów liczbowych) Niech  m  oznacza dowolną liczbę na- turalną. Jeżeli funkcja  f  jest nierosnąca i nieujemna na przedziale  m ; + ∞ ), to szereg liczbowy ∞ n = m f  ( n ) i całka + ∞ m f  ( x ) dx są jednocześnie zbieżne albo rozbieżne. Tw.3 (kryterium porównawcze) Jeżeli ∞ n =1 an  oraz ∞ n =1 bn  są szeregami o wyrazach nieujemnych oraz  an bn  dla  n  n 0, to 1. jeżeli szereg ∞ n =1 an  jest rozbieżny, to rozbieżny jest szereg ∞ n =1 bn ; 1 2. jeżeli szereg ∞ n =1 bn  jest zbieżny, to zbieżny jest szereg ∞ n =1 an . Tw.4  (kryterium d’Alemberta) Jeżeli ∞ n =1 an  jest szeregiem o wyrazach dodatnich i istnieje gra- nica lim n→∞ an +1 an =  g  (właściwa lub niewłaściwa), to 1. jeśli 0 g   1, to szereg ∞ n =1 an  jest rozbieżny. Tw.5  (kryterium Cauchy’go) Jeżeli ∞ n =1 an  jest szeregiem o wyrazach nieujemnych i istnieje granica lim n→∞ n √ an  =  g  (właściwa lub niewłaściwa), to 1. jeśli 0 g   1, to szereg ∞ n =1 an  jest rozbieżny. W obu twierdzeniach jeśli  ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz