III. Zbiór liczb rzeczywistych
1. Liczby rzeczywiste
Naukę o liczbach rzeczywistych można ująć w postaci teorii aksjomatycznej (w odróżnieniu od
szkolnej definicji liczby rzeczywistej jako liczby posiadającej rozwinięcie na ułamek dziesiętny skończony lub nieskończony). Do pojęć pierwotnych tej teorii należy zbiór R, relacja między elementami
zbioru R, oraz dwa działania: dodawanie (+) i mnożenie ( · ). Zakładamy, że powyższe pojęcia
pierwotne spełniają 16 poniższych aksjomatów.
Dodawanie i mnożenie. Zakładamy, że w zbiorze R wykonalne jest dodawanie i mnożenie, tzn.
każdej parze (x, y) elementów zbioru R przyporządkowany jest jednoznacznie element x + y tego
zbioru zwany sumą liczb x i y oraz przyporządkowany jest jednoznacznie element x · y tego zbioru
zwany iloczynem liczb x i y. Podstawowe własności dodawania i mnożenia wyrażają następujące
aksjomaty:
R1
∀ x+y =y+x
(przemienność dodawania)
x,y∈R
R2
R3
R4
R5
R6
∀
x,y∈R
x·y =y·x
(przemienność mnożenia)
∀
x + (y + z) = (x + y) + z
(łączność dodawania)
∀
x · (y · z) = (x · y) · z
(łączność mnożenia)
∀
(x + y) · z = x · z + y · z
(rozdzielność mnożenia względem dodawania)
x,y,z∈R
x,y,z∈R
x,y,z∈R
∃
∀ x+o=x
(element neutralny dodawania)
o∈R x∈R
Aksjomat R6 zapewnia istnienie co najmniej jednego elementu o ∈ R mającego tę własność, że
∀ x+o=x
x∈R
Gdyby istniały dwa elementy o1 i o2 takie, że
∀ x + o1 = x
i
x∈R
∀ x + o2 = x,
x∈R
to w szczególności o2 + o1 = o2 i o1 + o2 = o1 . Korzystając zatem z aksjomatu R1
o2 = o2 + o1 = o1 + o2 = o1 .
Zatem scharakteryzowany w aksjomacie R6 element o jest tylko jeden. Nazywamy go zerem i oznaczamy symbolem 0. Mamy więc
∀ x + 0 = x.
x∈R
R7
∃
∀ x·e=x
e∈R x∈R
(element neutralny mnożenia)
Łatwo udowodnić, że istnieje dokładnie jeden taki element e ∈ R, o którym mówi aksjomat R7. Ten
jedyny element e nazywamy jednością i oznaczamy symbolem 1. Mamy więc
∀ x · 1 = x.
x∈R
III. Zbiór liczb rzeczywistych
R8
∀
∃ x+y =0
(istnienie elementu przeciwnego)
x∈R y∈R
Jeśli x + y = 0, to y nazywamy elementem przeciwnym do x. Można udowodnić, że dla każdego
x ∈ R istnieje dokładnie jeden element przeciwny; oznaczamy go symbolem −x.
R9
∀
∃ x·y =1
(istnienie elementu odwrotnego)
x∈R\{0} y∈R
Jeśli x · y = 1, to y nazywamy elementem odwrotnym do x. Można udowodnić, że dla każdego x = 0
1
istnieje dokładnie jeden element odwrotny; oznaczamy go symbolem x lub x−1 .
Dzięki aksjomatom R3 i R4 piszemy x + y + z zamiast x + (y + z) oraz x · y · z zamiast x · (y · z).
Relacja porządkująca
R10
R11
R12
R13
R14
R15
∀ x
x
x∈R
∀
x,y∈R
∀
∀
∀
∀
x,y∈R
x
0
x
x⇒x=y
y∧y
y∨y
x
x,y,z∈R
(zwrotność)
y∧y
x
x,y,z∈R
x,y∈R
. Zakładamy, że zbiór R jest uporządkowany liniowo, tzn.
z⇒x
z
(przechodniość)
x
y ⇒x+z
x∧0
(antysymetryczność)
y⇒0
(spójność)
y+z
(zgodność mniejszości z dodawaniem)
x·y
(nieujemność iloczynu liczb nieujemnych)
Zamiast x
y (x jest mniejsze lub równe y) piszemy y
x (y jest większe lub równe x). Jeżeli
x y i x = y, to piszemy x x (y jest większe od x). Element
x 0 nazywamy dodatnim.
Aksjomat ciągłości. Wprowadzone dotychczas aksjomaty R1-R15 wystarczają do zbudowania
arytmetyki liczb wymiernych, lecz nie wystarczają do zbudowania arytmetyki liczb rzeczywistych.
Na przykład nie wystarczają one do dowodu istnienia takiej liczby dodatniej x, dla której x2 = 2.
Niezbędne jest przyjęcie jeszcze jednego aksjomatu. Poprzedzimy go wprowadzeniem dwóch ważnych
pojęć.
Definicja 1. Mówimy, że zbiór X ⊂ R jest ograniczony z góry, gdy istnieje liczba rzeczywista M
taka, że x M dla każdego x ∈ X, to jest
∃
∀ x
M ∈R x∈X
M.
O każdym elemencie M ∈ R spełniającym powyższy warunek mówimy, że jest ograniczeniem
górnym zbioru X lub mówimy, że ogranicza zbiór X z góry.
Mówimy, że zbiór X ⊂ R jest ograniczony z dołu, gdy istnieje liczba rzeczywista m taka, że
m x dla każdego x ∈ X, to jest
∃ ∀ m x.
m∈R x∈X
O każdym elemencie m ∈ R spełniającym powyższy warunek mówimy, że jest ograniczeniem
dolnym zbioru X lub mówimy, że ogranicza zbiór X z dołu.
Mówimy, że zbiór X ⊂ R jest ograniczony, gdy jest jednocześnie ograniczony z góry i z dołu.
Definicja 2. Niech X ⊂ R będzie zbiorem niepustym. Kresem dolnym (infimum) zbioru X nazywamy największą liczbę ograniczającą zbiór X z dołu i oznaczamy inf X. Kresem górnym (supremum)
zbioru X nazywamy najmniejszą liczbę ograniczającą zbiór X z góry i oznaczamy sup X.1
1
Jeśli zbiór X nie jest ogranoczony z dołu, to przyjmujemy inf X = −∞, jeśli X nie jest ograniczony z góry to
przyjmujemy sup X = +∞.
20
III. Zbiór liczb rzeczywistych
Ostatni z aksjomatów liczb rzeczywistych, zwany aksjomatem ciągłości, brzmi następująco:
R16
Każdy niepusty i ograniczony z góry podzbiór zbioru R ma kres górny.
Korzystając z powyższego aksjomatu można również pokazać, że każdy niepusty, ograniczony z dołu
podzbiór zbioru R ma kres dolny.
Odejmowanie i dzielenie. Odejmowanie, to działanie określone wzorem
x − y = x + (−y).
Dzielenie, to działanie określone wzorem
1
x : y = x · y,
y = 0.
gdzie
Wynik odejmowania nazywamy różnicą, wynik dzielenia – ilorazem.
Iloraz x : y oznaczamy też
x
y
i nazywamy ułamkiem o liczniku x i mianowniku y.
Podstawowe własności działań na ułamkach:
c
d
ad+bc
bd ,
(2)
+
(3)
a
b
·
(5)
ac
bc
(7)
dla liczb a, b 0 mamy a b ⇔
1
a
dla liczb a, b b ⇔
1
a
a
b
c
d
ad−bc
bd ,
0 mamy x y ⇔ x · z y · z,
(12)
dla liczby z y ⇔ x · z 0 ⇔ (x 0 ∧ y 0) ∨ (x 0 ∧ y 0).
Przykład 1. Nierówność −2x + 3 2 można przekształcić równoważnie w następujący sposób
1
−2x + 3 4 ⇔ −2x 1 ⇔ x a},
[a, +∞) = {x ∈ R : x
a}
(−∞, b) = {x ∈ R : x a ⇔ x a ∨ x 0 mamy a b ⇔ an bn ,
(10)
dla a 1 mamy n m ⇔ an am ,
(11)
dla a ∈ (0, 1) mamy n m ⇔ an b⇔
(7)
dla a 1 mamy n m ⇔
a
√
n
a 0, a = 1 z liczby x 0 nazywamy taką liczbę rzeczywistą
y, że
ay = x.
Dla każdego x 0 istnieje dokładnie jedna liczba y o powyższej własności. Oznaczamy ją symbolem
loga x. Zatem4
y = loga x ⇔ ay = x.
Przykład 8.
log2 (5120) = log2 (1024 · 5) = log2 (1024) + log2 5 = 10 + log2 5,
gdyż 210 = 1024.
Podstawowe własności logarytmu:
(1)
aloga x = x,
(2)
loga (ax ) = x,
(3)
loga x + loga y = loga (x · y),
(4)
loga x − loga y = loga
(5)
loga (xy ) = y loga x,
(6)
loga x =
(7)
dla a 1 mamy x y ⇔ loga x loga y,
(8)
dla a ∈ (0, 1) mamy x y ⇔ loga x
(…)
… ∨ x = −3).
21
III. Zbiór liczb rzeczywistych
2. Podzbiory zbioru R
Zbiór N wszystkich liczb naturalnych można określić jako najmniejszy podzbiór zbioru liczb
rzeczywistych spełniający następujace dwa warunki:
1◦ 1 ∈ N,
2◦ n ∈ N ⇒ n + 1 ∈ N.
Do zbioru liczb naturalnych zaliczamy zatem liczby 1, 2 = 1 + 1, 3 = 2 + 1, . . .
Zbiór Z wszystkich liczb całkowitych określamy jako ziór wszystkich różnic m−n…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)