§5. Granica i ciągłość funkcji
1. Wyznaczyć granice:
x2 +x−6
,
2
x→2 x −4
b) lim
x→3
x2 +x−12
x3 −27
√
x3 −4x2 +x+2
,
x4 −1
x→1
a) lim
f ) lim
1
1−x
g) lim
,
x→−1
x2 −2x−8
,
2
x→4 x −9x+20
c) lim
−
k) lim
x→0
3
1−x3
,
√
x2 − x
√
,
x−1
x→1
√
√
lim x− x x ,
x→0
√
lim x−1−2 ,
x→5 x−5
m)
3x2 +5x−2
,
2
x→−2 4x +9x+2
i)
n)
x3 −6x2 +11x−6
,
x2 −1
x→1
j)
e) lim
√
2
√x +1−1 ,
x2 +4−2
x→0
√
√
2 +1− x+1
lim x1−√x+1 ,
x→0
√
2
lim 1+x+x −1 ,
x
x→0
√ √
x x−8
lim √x−2 .
4
x→16
l) lim
h) lim
d) lim
√
2+x− 2−x
,
3x
o)
2. Obliczyć następujące granice:
a) lim
x→0
tg 2x
,
x→0 tg x
sin 3x
2x ,
d) lim
g) lim
x→0
4x
,
x→0 3 sin 2x
e)
sin 2x
,
x→0 sin 3x
f ) lim x ctg 7x,
b) lim
c) lim
2
cos x−cos 5x
,
x2
lim
x→0
tg 7x−sin x
,
x
sin 2x
,
x→0 tg 4x
h) lim
i)
x→0
3
lim
x→0
1−cos x
.
x2
3. Obliczyć granice:
a)
b)
2x3 −5x2 +6x−8
,
3
x→+∞ −x +5x−3
f)
lim
lim
x→−∞
2x3 +5x2 −x+1
,
3x2 −x−1
g)
c)
−x5 +3x2
,
4
x→+∞ x −x
h)
d)
−x5 +3x2
,
4
x→−∞ x −x
i)
e)
x4 −2x+1
,
5
x→−∞ x +x
j)
lim
lim
lim
lim
√
x→+∞
lim
√
x→+∞
lim
√
x→−∞
lim
√
x→−∞
lim
√
x→−∞
x+2−
√
x ,
x2 − 3x − x ,
x2 − 3x − x ,
x2 + 2x −
x2 − 3x −
√
√
x2 − 2x ,
x2 + 1 .
4. Obliczyć następujące granice:
a)
b)
lim
x→+∞
lim
x→+∞
2
3
1+
x+1
x−2
4
x
x+1
,
c)
lim
lim
1+
x→+∞
x
,
d)
x2
x2 +3
x2 +7
x→+∞
,
lim
3x−4
3x+2
lim
1−
x→+∞
x+3
1
x
,
Wskazówka: skorzystać ze wzoru cos α − cos β = −2 sin
2
e)
2
α+β
2
sin
f)
x→+∞
3
x
1
(x+1)
3
,
2x−1
.
α−β
.
2
2
Wskazówka: skorzystać ze wzoru cos 2α = cos α − sin α = 1 − 2 sin α.
14
5. Obliczyć granice jednostronne funkcji w podanym punkcie x0 :
a) f (x) =
x−1
|x−1| ,
b) f (x) =
1
3−x ,
c) f (x) =
d) f (x) =
h) f (x) =
x−1
,
x2 −4
x0 = 2,
i) f (x) =
x0 = 1,
x−5
,
x2 −4
x0 = 2,
x0 = 3,
−3
,
(x−2)2
x0 = 2,
2
,
4−x2
j) f (x) = 2
x0 = −2,
k) f (x) = 3
e) f (x) =
−2
,
4−x2
f ) f (x) =
x−1
x−5 ,
x0 = 5,
m) f (x) =
g) f (x) =
x−6
x−5 ,
x0 = 5,
n) f (x) =
x0 = 2,
l) f (x) = 3
1
x−1
x0 = 1,
,
1
(x−1)2
,
2
1
1+e x
x
x0 = 1,
,
−2
(x−1)2
x0 = 1,
x0 = 0,
,
1
x0 = 1.
,
5+2 1−x
6. Pokazać, że nie istnieją następujące granice:
x+1
,
x→−1 |x+1|
x−1
,
2
x→2 x −4
a) lim
c) lim
d)
1
b) lim 2 x−1 ,
x→1
e)
1
f ) lim sin x .
lim sin x,
x→+∞
lim cos x,
x→−∞
x→0
7. Wyznaczyć asymptoty funkcji:
√
a) f (x) =
3x+2
2x−3 ,
f ) f (x) =
x3
,
(x+1)2
b) f (x) =
3x
x−1
+ 3x,
g) f (x) =
x
,
x2 +1
l) f (x) = ln(4 − x2 ),
cos x
x ,
h) f (x) =
3x2
,
x2 −4
m) f (x) = 2x + arctg x,
c) f (x) = 2x −
d) f (x) =
x2 −1
1−x2
e) f (x) =
√ 2x ,
x2 +1
k) f (x) =
3
i) f (x) = 2x + x ,
,
j) f (x) =
1
x2
− x2 ,
1 + x2 + 2x,
2
n) f (x) = arcsin 1−x2 ,
1+x
√
3
3 − 6x2 .
o) f (x) = x
8. Zbadać ciągłość funkcji:
d)
a)
1 − x2
f (x) = (x − 1)2
4−x
dla x ∈ (−∞, 0),
2x + 8
f (x) =
(x − 3)2
dla x ∈ 0, 2 ,
dla x ∈ (−∞, 0 ,
dla x ∈ (0, +∞);
dla x ∈ (2, +∞);
e)
b)
f (x) =
x+1
x−1
−x2 + 4x − 4 dla x ∈ (−∞, 0),
f (x) = 0
dla x = 0,
2x − 4
dla x ∈ (0, +∞);
dla x ∈ (−∞, −1),
x2 + 2x + 2 dla x ∈ −1, +∞);
c)
3x
dla x ∈ (−∞, 0 ,
f (x) = −x + 1 dla x ∈ (0, 1 ,
ln x
dla x ∈ (1, +∞);
f)
f (x) =
sin 5x
dla x = 0,
5
dla x = 0.
3x
3
15
9. Określić dla jakiej wartości parametrów a i b funkcja f jest ciągła na całym zbiorze R:
e)
a)
x
dla x ∈ (−∞, 1),
f (x) =
3x2 + a dla x ∈ 1, +∞);
2x+1 + 1 dla x ∈ (−∞, −1),
f (x) = ax + b
dla x ∈ −1, 1 ,
(2 − x)2 dla x ∈ (1, +∞);
b)
2(x − a)3
f (x) =
ln x
dla x ∈ (−∞, 1),
dla x ∈ 1, +∞);
c)
ex + a dla x ∈ (−∞, 0 ,
f (x) =
x2 − x dla x ∈ (0, +∞);
f)
√
1 − a − x dla x ∈ (−∞, −1),
f (x) = 3x + 2
dla x ∈ −1, 0 ,
sin bx
dla x ∈ (0. + ∞).
x
d)
22x+2 + 5 dla x ∈ (−∞, 0 ,
f (x) =
(a − x)2
dla x ∈ (0, +∞);
10. Stosując własność Darboux stwierdzić, że dane równanie ma rozwiązanie x0 należace do wskazanego przedziału.
a)
b)
1 x
= x,
2
2 +x
2
e2x
= x,
x0 ∈ (0, 1),
x0 ∈ ( 1 , 1),
2
c) sin x = 1 − 2x,
d) tg x = 1 + 16x2 ,
x0 ∈ (0, π),
x0 ∈ (0, π ).
4
16
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)