Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar

Nasza ocena:

5
Pobrań: 91
Wyświetleń: 476
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar - strona 1 Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar - strona 2 Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar - strona 3

Fragment notatki:

2.1. Określenie i rodzaje wektorów. Mnożenie wektora przez skalar
Wielkości fizyczne występujące w mechanice i innych działach fizyki można
podzielić na skalary i wektory. Aby określić wielkość skalarną, wystarczy podać
tylko jedną liczbę. Wielkościami takimi są masa, czas, temperatura, objętość i inne.
Do określenia wielkości wektorowej nie wystarcza podanie jednej liczby.
Przykładem takiej wielkości jest siła. Aby ją określić, należy podać wartość,
kierunek
w przestrzeni oraz zwrot. W ogólnym przypadku aby określić wektor, należy znać:
a) wartość bezwzględną wektora, zwaną modułem,
b) kierunek, czyli prostą, na której leży wektor (linię działania),
c) zwrot,
d) punkt przyłożenia.
Nie wszystkie wielkości wektorowe wymagają dla swego określenia podania
wszystkich wymienionych cech. Z tego punktu widzenia rozróżniamy: wektory
zaczepione, wektory przesuwne lub ślizgające się oraz wektory swobodne.
Wektory zaczepione wymagają do ich określenia podania wszystkich czterech
cech. Wektorów takich nie można przemieszczać ani przesuwać.
Wektory przesuwne są określone za pomocą modułu, zwrotu oraz linii działania.
Takie wektory mogą być jedynie przesuwane wzdłuż prostych, na których leżą.
Wektory swobodne są określone przez moduł, zwrot oraz kierunek równoległy
do ich linii działania. Oznacza to, że wektor swobodny można dowolnie
przemieszczać, równolegle do kierunku jego działania.
Graficznie wektory przedstawia się za pomocą odcinka skierowanego jak na
rys. 2.1. Długość odcinka określa moduł wektora, kierunek – kierunek wektora
(linię działania), a strzałka – zwrot wektora. Wektory będziemy oznaczać
pogrubionymi literami – jedną literą albo dwoma, oznaczającymi początek i koniec
wektora:
a = AB .
Moduł wektora będziemy oznaczać tak jak skalary albo za pomocą symbolu
wartości bezwzględnej:
a = a = AB = AB .
Moduł jest na ogół wielkością mianowaną i jego wartość liczbowa zależy od
przyjętych jednostek fizycznych.
Dwa wektory swobodne przedstawiające tę samą wielkość wektorową są
równe, jeżeli mają równe moduły, kierunki i zwroty. Aby dwa wektory przesuwne
były
równe, muszą ponadto leżeć na jednej prostej, a wektory zaczepione muszą być
przyłożone w jednym punkcie. Równość wektorów a i b zapisujemy tak jak
równość liczb, czyli
a = b.
W wyniku pomnożenia wektora a przez skalar k otrzymamy nowy wektor b
równoległy do wektora a o module k razy większym od modułu wektora a. Zwrot
wektora b będzie zależał od znaku skalara k. Jeżeli k 0, to zwrot wektora b jest
zgodny ze zwrotem wektora a, a przeciwny, gdy k

(…)

… = a ybz − a zby ,⎫

c y = (a z b x − a x b z ),⎬
c z = a x b y − a y b x .⎪

(
)
(2.29)
2.3.3. Iloczyny złożone trzech wektorów
W poprzednich dwóch punktach omówiliśmy iloczyn skalarny oraz iloczyn
wektorowy dwóch wektorów. Wektory te mogły być w szczególności sumą kilku
wektorów. Obecnie podamy określenia iloczynów podwójnych złożonych z trzech
wektorów. Będzie to iloczyn mieszany trzech wektorów oraz podwójny iloczyn
wektorowy trzech wektorów. Ograniczymy się przy tym tylko do określenia tych
iloczynów oraz podania podstawowych zależności niezbędnych do przekształceń
wzorów wektorowych w dalszych rozdziałach. Dowody na podane niżej
przekształcenia można znaleźć w literaturze [6, 9, 11].
Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b i c nazywamy iloczyn skalarny
jednego z tych wektorów, np. wektora…
… są zgodne z treścią znanego twierdzenia Charles’a, że rzut
sumy wektorów na dowolną oś jest równy sumie rzutów poszczególnych wektorów
na tę oś.
2.3.1. Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar
równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między
nimi.·
b
α
O
a
Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego
Jeżeli kąt między wektorami…
… nazywamy polem skalarnym. Analogicznie, jeżeli
każdemu punktowi pewnego obszaru przyporządkujemy pewien wektor, to ten
obszar nazywamy polem wektorowym.
Najczęściej spotykamy się z trzema typami funkcji.
a) Skalar jako funkcja położenia. Po przyporządkowaniu każdemu punktowi
obszaru funkcji typu
ϕ = ϕ(r)
(2.42)
będziemy mówić o polu skalarnym. Zmienną zależną jest tutaj skalar , a zmienną
niezależną…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz