To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
2.3.1. Iloczyn skalarny
Iloczynem skalarnym (skalarowym) dwóch wektorów a i b nazywamy skalar
równy iloczynowi modułów obu wektorów przez kosinus kąta zawartego między
nimi.·
b
α
O
a
Rys. 2.8. Ilustracja do definicji iloczynu skalarnego
Jeżeli kąt między wektorami oznaczymy przez α (rys. 2.8), a operację mnożenia
skalarnego przez a·b, to otrzymamy:
a⋅ b = a b cosα.
(2.11)
Po uwzględnieniu we wzorze (2.11) zależności (2.2) iloczyn skalarny możemy
przedstawić jako iloczyn rzutu jednego wektora na kierunek drugiego i modułu
drugiego.
a⋅ b = a ( b cosα ) = b ( a cosα ) = a Rz a ( b) = bRz b ( a ) .
(2.12)
Iloczyn skalarny jest równy zeru (poza przypadkami, gdy a = 0 lub b = 0), gdy
cos = 0. Wynika stąd warunek prostopadłości (ortogonalności) dwóch wektorów:
a⋅ b = 0,
gdy
a ⊥ b.
(2.13)
Z faktu, że funkcja kosinus jest funkcją parzystą [cosα = cos(–α)], wynika, że
do iloczynu skalarnego stosuje się prawo przemienności:
a⋅ b = b⋅ a .
Iloczyn skalarny podlega również prawu rozdzielności mnożenia skalarnego
względem dodawania:
a⋅ (b + c) = a⋅ b + a⋅ c.
Dowód tej własności wynika bezpośrednio z przytoczonego w poprzednim punkcie
twierdzenia Charles’a oraz z zależności (2.2):
a⋅ (b+ c ) = a Rza (b+ c ) = a[Rza (b ) + Rza (c )] =
= a Rza (b ) + a Rza (c ) = a⋅ b+ a⋅ c .
Jeżeli pomnożymy równanie (2.11) przez dowolny skalar k, to otrzymamy
prawo łączności mnożenia iloczynu skalarnego przez skalar:
k (a⋅ b ) = (k a )bcosα = a (k b )cosα = (k a ) ⋅ b = a⋅ (k b ).
Wektor pomnożony skalarnie przez siebie jest równy kwadratowi modułu:
a⋅ a = a a cos0 = a 2 .
(2.14)
Z podanych wyżej rozważań wynika, że iloczyn skalarny – poza wzorem (2.13)
– ma takie same własności jak iloczyn algebraiczny liczb.
Gdy mamy dowolny wektor a oraz oś l określoną przez wektor jednostkowy el
(rys. 2.3), to na podstawie równania (2.12) rzut tego wektora na oś l wyraża wzór:
a⋅ e l = a cosα = Rz l (a ).
(2.15)
Z zależności tej będziemy często korzystać przy obliczaniu współrzędnych wektora
w danym układzie współrzędnych.
Obecnie podamy zależności między wersorami i, j, k prostokątnego układu
współrzędnych. Na podstawie wzorów (2.14) i (2.13) otrzymujemy:
i⋅ i = j⋅ j = k ⋅ k = 1, ⎫
⎬
i⋅ j = j⋅ k = k ⋅ i = 0.⎭
(2.16)
Gdy wektory a i b zapiszemy analitycznie za pomocą ich współrzędnych
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z:
a = a x i + a y j+ a z k , ⎫
⎬
b = b x i + b y j+ b z k ,⎭
to ich iloczyn skalarny na
współrzędne:
(2.17)
podstawie wzorów (2.16) można wyrazić przez
a⋅ b = a x b x + a y b y + a z b z .
Porównanie wzorów (2.11) i (2.18) pozwala obliczyć kąt między wektorami:
(2.18)
cosα =
a xbx + a yby + a zbz
ab
.
(2.19)
Z tego wzoru wynika, że aby dwa wektory były ortogonalne, ich współrzędne
muszą spełniać zależność:
a x b x + a y b y + a z b z = 0.
(2.20)
2.3.2. Iloczyn wektorowy
Iloczynem wektorowym a× b dwóch wektorów a i b nazywamy wektor c
prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory, którego moduł jest równy
iloczynowi
(…)
… a i b nazywamy wektor c
prostopadły do płaszczyzny utworzonej przez te wektory, którego moduł jest równy
iloczynowi modułów tych wektorów pomnożonemu przez sinus kąta zawartego
między nimi (rys. 2.9)
c = a× b, ⎫
⎬
c = a bsinα.⎭
(2.21)
c=axb
b
α
O
a
−c = b x a
Rys. 2.9. Ilustracja iloczynu wektorowego
Zwrot wektora c jest tak dobrany, że wektory a, b, c tworzą układ
prawoskrętny, czyli zwrot wektora c…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)