Zbiory spójne w przestrzeniach metrycznych

ZBIORY SPÓJNE W PRRZESTRZENIACH METRYCZNYCH Definicja Zbiór A nazywamy spójnym w przestrzeni metrycznej (X,d), gdy nie istniej ą dwa otwarte zbiory B, C takie, Ŝ e A  B ≠ 0 i A  C ≠ 0 oraz A  B  C. Twierdzenie Zbiór A w przestrzeni metrycznej (X,d) jest spójny wtedy i tylko wtedy gdy spełnia on warunek:  B,C  X takich, Ŝ e B ≠ 0, C ≠ 0, B  C=A oraz B  C=0 mamy, Ŝ e B  C  0  B  C  0 Twierdzenie Podzbiór A zbioru R jest spójny w przestrzeni metrycznej (R,d F ) wtedy i tylko wtedy, gdy jest wypukły , tzn. jest przedziałem o długo ś ci zerowej lub dodatniej. (chodzi o wszystkie przedziały ) Uwaga Ju Ŝ w 2-wymiarowej przestrzeni (R 2 ,d F ) istniej ą zbiory spójne niewypukłe. CHARAKTTERYZACJA ZBIORÓW SPÓJNYCH W PRZESTRZENIACH LINIOWYCH METRYCZNYCH Z METTRYKAMI GENEROWANYMI PRZEZ NORMY. Twierdzenie W przestrzeniach liniowych metrycznych (X,d) generowanych przez normy , zbiór A jest spójny wtedy i tylko wtedy, gdy jest łukowo spójny , tzn. dowolne dwa punkty x,y  A daj ą si ę poł ą czy ć lini ą łaman ą le Ŝą c ą w zbiorze A. Uwaga Linia łamana jest suma stycznych ze sob ą (nienachodz ą cych na siebie) odcinków. Dla definiowania odcinka w X potrzebne było zało Ŝ enie, Ŝ e X ma struktur ę liniow ą . Je Ŝ eli X jest przestrzeni ą liniow ą i dodawanie (czyli działanie przy którym X jest grupa abelow ą , które jest działaniem wewn ę trznym) oznaczone jest symbolem  , za ś mno Ŝ enie przez skalary przez  to dla dowolnych x,y  X przez odcinek [x,y] o ko ń cach x,y rozumiemy nast ę puj ą cy podzbiór X. [x,y] = {  x  (1-  )  y:  [0,1]} Twierdzenie Je Ŝ eli w przestrzeni metrycznej (X,d) mamy zbiór spójny A i mamy funkcj ę ci ą gł ą f:A → R, to  a,b  A i dla dowolnej liczby C le Ŝą cej pomi ę dzy f(a) i f(b) istnieje z  A takie, Ŝ e f(z)=c. Innymi słowy funkcje o warto ś ciach rzeczywistych ci ą głe okre ś lone na zbiorze spójnym w przestrzeni metrycznej (X,d) maj ą własno ść Darboux.

(…)

… zbiorów spójnych>
JeŜeli w przestrzeni metrycznej (X,d) mamy zbiór spójny A i mamy funkcję ciągłą f:A→R, to
a,bA i dla dowolnej liczby C leŜącej pomiędzy f(a) i f(b) istnieje zA takie, Ŝe f(z)=c.
Innymi słowy funkcje o wartościach rzeczywistych ciągłe określone na zbiorze spójnym w
przestrzeni metrycznej (X,d) mają własność Darboux.
…
... zobacz całą notatkę