Wykłady z analizy matematycznej dla I roku Elektroniki i Telekomunikacji Wiadomości wstępne Literatura 1) W. Żakowski, G. Decewicz ”Matematyka cz. I” Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1991 2) W. Żakowski, W. Kołodziej ”Matematyka cz. II” Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1995 3) L. Drużkowski ”Analiza matematyczna. Podstawy”, Wydawnictwo Uniwersytetu Jegielońskiego, Kraków 1998 4) G. M. Fichtenholz ”Rachunek różniczkowy i całkowy”, PWN, Warszawa 1978 5) M. Malec “Elementarny wstęp do współczsnej analizy matematycznej”, Wydawnictwa AGH, Kraków 1996 6) M. Malec “Przestrzenie metryczne” , Wydawnictwa AGH, Kraków 2000 7) J. Banaś, S. Wędrychowicz “Zbiór zadań z analizy matematycznej”, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 1993, 1997 8) W. Stankiewicz ”Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych” cz.I, PWN, Warszawa 1997 9) W. Stankiewicz, J. Wojtowicz ”Zadania z matematyki dla wyższych uczelni technicznych” cz. II, PWN Warszawa 1976 Oznaczenia: ∀ dla każdego ( uogólnienie pojęcia “koniunkcji” na dowolną liczbę zdań logicznych ) ∃ istnieje ( uogólnienie pojęcia “alternatywy” ) := równe z definicji : równoważne z definicji ¡ -zbiór liczb naturalnych , ¢¤£ 1,2,3,. . ¥ 0 ¦ 0 § ¥ ¦ 0,1,2,.. ¨ - zbiór liczb całkowitych © - zbiór liczb wymiernych - zbiór liczb rzeczywistych - zbiór liczb zespolonych Charakterystyczną cechą zbioru ¡ jest zasada indukcji matematycznej : Jeśli jakieś twierdzenie T n ma zachodzić n n 0 , n , n o , to dowód indukcyjny przeprowadzamy w II etapach: I. Sprawdzamy, czy twierdzenie zachodzi dla n0 : T n 0 II. Dowodzimy następnie lemat indukcyjny: Lemat Zał. T(n0), T(n0+1), ... , T(k) dla k ≥ n0 , k Teza T (k+1) - 1 - Często wystarczy udowodnić Lemat Zał. T k , k n 0 Teza T k ! 1 Przykład. Udowodnić nierówność Bernoulliego " n #$ (1+p ) n ≥ 1 + np, gdzie p -1 Dowód indukcyjny. I. Nierówność jest prawdziwa dla n=1 bo 1 + p ≥ 1+p II. Zał. Zakładamy, że nierówność zachodzi dla n=k (1+p ) k ≥ 1 + kp Teza Wykażemy prawdziwość nierówności dla n=k+1 (1+p ) k+1 ≥ 1 + (k+1)p Dowód Przekształcamy nierówność z tezy lematu indukcyjnego (1+p ) k+1 ≥ 1 + (k+1)p (1+p ) k (1+p) ≥ 1 + kp + p (1+p ) k (1+p) ≥ (1+p) + kp (1+p)[ (1+p ) k - 1] ≥ kp Ostatnia nierówność jest prawdziwa, ponieważ (1+p ) k - 1 ≥ kp na podstawie założenia indukcyjnego, stąd (1+p)[ (1+p ) k - 1] ≥ (1+p)kp = kp+kp2 ≥ kp. Definicje rekurencyjne Np.
(…)
…
- iloczyn (przecięcie) zbiorów
b=d
n
Iloczyn kartezjański zbiorów A i B:
...
An
A2
y
B
a 1 ,a 2 ,... ,a n : a 1 A 1 , a 2 A 2 , ... , a n A n
i 1
A1
A
X Ai
B := x , y : x
n
A
Uporządkowany układ n elementów
(a1, a2 , ..., an) := ((a1 , ..., an-1), an)
dla n ≥ 3,
Para uporządkowana
(a,b) := {{a},{a,b}}
(a,b) = (c,d)
a=c
Ai
A i := x :
Ai
i
I
A i := x…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)