To tylko jedna z 9 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
CIĄGI LICZBOWE • Definicja ciągu liczbowego : Ciągiem liczbowym (rzeczywistym) nazywamy funkcję odwzorowującą zbiór liczb naturalnych N w zbiór liczb rzeczywistych R. • Oznaczenia : (an) – ciąg liczb rzeczywistych lub ciąg liczbowy an – n-ty wyraz ciągu n – wskaźnik • Przykłady : 1. an=n 2. an=1- n 1 3. określony wzorem rekurencyjnym: a1= 3 , an+1= n a + 3 • Interpretacja geometryczna : an a6 Ciąg (an) jest zbiorem punktów (n,an) na płaszczyźnie a5 a4 a3 a2 a1 n 1 2 3 4 5 6 OGRANICZONOŚĆ CIĄGU • Definicja ciągu ograniczonego: Ciąg (an) nazywamy ograniczonym: 1) z dołu, jeśli n N n R M a m ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ 2) z góry, jeśli M a n N n R M ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ 3) ograniczonym, jeśli M a m n N n R M m ≤ ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ , ( ) * * M a n N n R M ≤ ∧ ∨ ∈ ∈ M* = min (m,M) • Przykłady: 1) 2 1 + + = n n a n 1 0 ≤ ≤ ∧ ∈ n N n a an – ciąg ograniczony 2) an=3-cos(n’)2 -1cos(n’)2≤1 / ∙ (-2) -2≤-2cos(n’)2≤2 / +3 1≤3-2cos(n’)2≤5 1≤an≤5 3) an=log2n MONOTONICZNOŚĆ • Definicja ciągu monotonicznego: Ciąg (an) nazywamy: 1) ciągiem rosnącym (ściśle rosnącym), jeśli 1 + ∈ ∧ n n N n a a 4) ciągiem nierosnącym (słabo malejącym), jeśli 1 + ∈ ≥ ∧ n n N n a a 5) ciągiem stałym , jeśli 1 + ∈ = ∧ n n N n a a Ciągi rosnące, malejące, słabo rosnące, słabo malejące i stałe nazywamy ciągami monotonicznymi. • Przykłady: Zbadać monotoniczność ciągów: a) 2 1 + + = n n a n 0 ) 2 )( 3 ( 1 ) 2 )( 3 ( 3 4 4 4 ) 2 )( 3 ( ) 3 )( 1 ( ) 2 )( 2 ( 2 1 3 2 2 2 1 + + = + + − − − + + = + + + + − + + = + + − + + = − + n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a n n an+1-an0 an+1an Ciąg (an) jest ciągiem rosnącym. JEŚLI 0 ∧ ∈ n N n a , to 1 1 + n n a a c. rosnący 1 1 ≥ + n n a a c. słabo rosnący 1 1
(…)
…) - nie istnieje
n→ ∞
n
•
Twierdzenie o trzech ciągach:
lim a n = lim c n = g , a ponad to istnieje taka liczba δ0, że dla każdego n> δ0 spełniona
Jeżeli n→ ∞
n→ ∞
jest nierówność: an < bn < cn, to lim bn = g
n→ ∞
DOWÓD: Niech ε będzie dowolną ustaloną liczbą, ε>0. Ponieważ
lim a n = g ⇔ ∧ ∨ ∧ a n − g < ε ⇒ − ε < a n − g < ε
n→ ∞
ε > 0 δ 1 n> δ 1
g - ε< an < g + ε
lim c n = g ⇔ ∧ ∨ ∧ c n − g < ε ⇒ − ε < c n − g…
…+ n
2 n→ ∞
n + n+ n
2 n→ ∞ 1 2
n 1 + + 1
n
• Twierdzenie:
Jeśli:
1. lim a n = a ⇒ lim a n = a
n→ ∞ n→ ∞
2. lim a n = 0 ⇔ lim a n = 0
n→ ∞ n→ ∞
ad. 1.: Implikacja odwrotna nie jest prawdziwa. Przykład:
an=(-1)n
lim (− 1) n = lim 1 = 1
n→ ∞ n→ ∞
lim(− 1) - nie istnieje
n
n→ ∞
• Twierdzenie o trzech ciągach:
lim a n = lim c n = g , a ponad to istnieje taka liczba δ0, że dla każdego n> δ0…
…:
- „dla każdego”: ∧ , ∀
- „istnieje”: ∨ , ∃
* N={1,2,3,…}
GRANICA CIĄGÓW:
Uwaga: Mówimy, że „prawie wszystkie wyrazy ciągu” (an) spełniają pewną własność, jeśli co
najwyżej skończona ilość wyrazów tej własności nie spełnia.
• Definicja Cauchy’ego o granicy ciągu:
Ciąg (an) nazywamy zbieżnym do granicy właściwej g, a g nazywamy granicą ciągu (an), co
zapisujemy: lim a n = g lub a n n→ ∞ g , jeśli dla dowolnego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)