Twierdzenie o pasywności układów dynamicznych

Twierdzenie o pasywności układów dynamicznych:
Całka z iloczynu sił uogólnionych i prędkości uogólnionych jest równa różnicy sumy E k i E p w chwili t minus suma E k i E p w chwili zerowej. Suma E k i E p jest funkcją Lapunowa w układzie mechanicznym. Pochodna po czasie z funkcji Lapunowa jest równa iloczynowi skalarnemu prędkości uogólnionych oraz sił uogólnionych. E k jest zawsze dodatnia.
Tak możemy uczynić ponieważ E k jest niezależne od wyboru układu współrzędnych. Zasada pasywności polega na tym, że możemy dobierać układ odniesienia, w którym liczymy energię potencjalną. Jest to inaczej twierdzenie o całce z sumy E k i E p w układzie. Jeżeli znamy macierz mas układu (M(q)) to wszystkie składniki związane z siłami Coriolisa i siłami odśrodkowymi wynikają z macierzy mas.
Znając macierz mas układu dysponujemy pełną informacją o układzie. Oddzielnie występuje pochodna E k względem współrzędnych uogólnionych, czyli gradient energii potencjalnych względem wektora współrzędnych uogólnionych.
Wzory końcowe:
... zobacz całą notatkę