Suma prosta i iloczyn prosty grupy

Nasza ocena:

3
Pobrań: 7
Wyświetleń: 1484
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Suma prosta i iloczyn prosty grupy  - strona 1 Suma prosta i iloczyn prosty grupy  - strona 2 Suma prosta i iloczyn prosty grupy  - strona 3

Fragment notatki:


S S SUMA PRO S S STA I I I I I ILOCZYN PRO S S STY G R U P Y Niech {G j } j  J b ę dzie niepust ą rodzin ą grup. Zakładamy, Ŝ e wszystkie grupy wyst ę puj ą ce w tym wykładzie s ą przemienne. Niech P oznacza iloczyn kartezja ń ski rodziny {G j } j  J . Elementy P maj ą posta ć {g j } j  J , g j  G j Wprowadzamy w P dodawanie „po współrz ę dnych”. {g j } j  J + {h j } j  J = {g j + h j } j  J DEF : : : Zbiór B z tym działaniem jest grupa przemienn ą . Grup ę t ę nazywamy iloczynem prostym lub produktem rodziny {G j } j  J i oznaczamy   J j j G . Je Ŝ eli zbiór indeksów J jest sko ń czony to piszemy: G 1  G 2  …  G n lub   n j j G 1 . Zauwa Ŝ my, Ŝ e podzbiór S = {{g j } j  J  P : g j = 0 j dla prawie wszystkich j} jest podgrup ą   J j j G ( 0 j - element neutralny w G j ) DEF : : : totto1@o2.pl 9 Grup ę S nazywamy sum ą prost ą  j  J j G i oznaczamy j j J G   a w przypadku sko ń czonym G 1  G 2  …  G n lub j n j G 1   . Je Ŝ eli zbiór J jest sko ń czony to: j j J G   =   J j j G . np.   N j R - grupa ci ą gów liczb rzeczywistych. R J j   - podgrupa zło Ŝ ona z tych ci ą gów które od pewnego miejsca s ą równe 0. DEF : : : Nich G b ę dzie grupa abelow ą , H 1 , …, H n jej podgrupami. Mówimy, Ŝ e G jest sum ą prost ą (wewn ę trzn ą ) swoich podgrup je ś li homomorfizm f: H 1  H 2  …  H n → G f((h 1 , …, h n )) → h 1 + h 2 +…+ h n jest izomorfizmem grup. Piszemy wtedy: G = H 1  H 2  …  H n T T T W W I I I E E R R D D Z Z Z E E N N I I I E E Grupa G jest sum ą prost ą swoich podgrup H 1 , …, H n  spełnione s ą warunki: (i) H 1 + H 2 + … + H n = G (ii)  i = 1, …, n-1 : H i+1  (H 1 + … + H i ) = {0} Sam warunek (ii) jest równowa Ŝ ny temu, Ŝ e H 1 + … + H n = H 1  H 2  …  H n D D O O W W Ó Ó D D : : : Załó Ŝ my, Ŝ e warunki (i) i (ii) s ą spełnione.

(…)


SSSUMA PROSSSTA III IIILOCZYN PROSSSTY G R U P Y
Niech {Gj}jJ będzie niepustą rodziną grup.
Zakładamy, Ŝe wszystkie grupy występujące w tym wykładzie są przemienne.
Niech P oznacza iloczyn kartezjański rodziny {Gj}jJ.
Elementy P mają postać {gj}jJ, gj  Gj
Wprowadzamy w P dodawanie „po współrzędnych”.
{gj}jJ + {hj}jJ = {gj + hj}jJ
DEF: ::
Zbiór B z tym działaniem jest grupa przemienną
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz