Towaroznawstwo Wykład IV 1 Rozkład normalny Jest to najwa niejszy w zastosowaniach rozkład ciągły. Zwany te rozkładem Gaussa. Jest to rozkład o gęstości ( ) ( ) 2 2 2 2 1 σ µ π σ − − = x e x f , gdzie R x ∈ µ i σ 2 są parametrami tego rozkładu, przy czym µ jest jednocześnie jego wartością oczekiwaną zaś σ 2 –wariancja . σ nazywa się odchyleniem standardowym. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny to piszemy symbolicznie ( ) 2 , ~ σ µ N X . µ y=f ( x ) Krzywa gęstości nazywana jest krzywą Gaussa. Wpływ parametrów µ i σ 2 na wykres funkcji gęstości przedstawia poni szy rysunek. Reguła 3 sigm Dla ka dego rozkładu normalnego ( ) 2 , σ µ N zachodzi: N (4,4) N (2,16) Towaroznawstwo Wykład IV 2 ( ) ( ) ( ) 683 , 0 954 , 0 2 2 997 , 0 3 3 ≈ +
(…)
…
a)
≈ 0,9938 − 0,8944 = 0,0994
b)
X − 100 140 − 100
P ( X > 140 ) = P
>
= P (Z > 2 ,5) = 1 − Φ (2.5) ≈ 1 − 0 ,9938 = 0 ,0062 , a więc
16
16
ok 0,62% populacji .
3
Towaroznawstwo
Wykład IV
Pewne własności rozkładu normalnego
1
Dla dowolnych liczb rzeczywistych a i b oraz zmiennej losowej X zachodzi:
(
X ~ N µ ,σ 2
2
)⇒
(
aX + b ~ N a ⋅ µ + b , a 2 ⋅ σ 2
)
Jeśli X 1 ,K X n są niezale nymi zmiennymi losowymi, ka da o rozkładzie normalnym
(
)
X i ~ N µ i , σ i2 , zaś a1 ,K , a n są dowolnymi liczbami rzeczywistymi, to
n
∑
i =1
W szczególności
n
ai X i ~ N
ai µ i ,
i =1
∑
∑a
i =1
2
i
σi 2 .
2
X 1 + X 2 ~ N µ 1 + µ 2 , σ1 + σ 2
2
X1 − X 2
3
(
~ N (µ
n
1
2
− µ 2 , σ1 + σ 2
2
)
)
(
)
(
)
2
Jeśli wszystkie niezale ne zmienne Xi mają jednakowe rozkłady X i ~ N µ , σ to
biorąc w punkcie 2…
… ma grubość od 0,240 do 0,260 ?
zad.5
Paczka płatków kukurydzianych powinna wa yć 250 g brutto. Dopuszczalne jest odchylenie
±5g. Waga płatków pakowanych do paczki przez maszynę pakującą ma rozkład normalny z
µ=245g , σ=3g.
Waga torebek dostarczanych przez fabrykę A ma rozkład normalny z µ =5g , σ=0,5g, przez
fabrykę B - rozkład normalny z µ=5g , σ=1g.
Z której fabryki lepiej brać torebki? Obliczyć frakcję…
… do 10,02g. Jaka część odwa ników jest dobra?
Dla innego automatu σ = 0,05 g . Który automat jest lepszy?
Zad.2
Wiadomo, e długość kolby kukurydzy pewnej odmiany ma rozkład normalny z parametrami
µ=17cm i σ2=4cm2. jaka część tej kukurydzy ma kolby o długości
a) poni ej 18,5 cm
b) od 14,5 do 18 cm c) powy ej 16 cm?
zad.3
Bezpieczne obcią enie dla pewnej windy osobowej wynosi 800 kG. Rozkład wagi osób…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)