6.1. Rodzaje momentów bezwładności
W punkcie (4.4) poznaliśmy wielkości charakteryzujące rozkład masy,
nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) współrzędne
występują w pierwszej potędze. Przekonamy się, że w dynamice doniosłą rolę
odgrywają wielkości, w których rozkład masy będzie opisany iloczynem masy
punktu i kwadratu jego odległości od punktu, płaszczyzny lub osi. Wielkości te
nazywamy masowymi momentami bezwładności lub krótko momentami
bezwładności, albo momentami statycznymi drugiego rzędu.
Momentem bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu),
płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości
od bieguna, płaszczyzny lub osi.
Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności:
1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu),
2) względem płaszczyzn,
3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).
W dalszej kolejności zajmiemy się momentami bezwładności układu punktów
materialnych i bryły.
6.2. Momenty bezwładności układu punktów materialnych
Załóżmy, że mamy układ
materialny złożony z n punktów
materialnych o masach mk
znajdujących się w punktach Ak
opisanych wektorami wodzącymi rk
(rys. 6.1).
rk = x k i + y k j + z k .
z
h kz
xk
mk
yk
Ak
h ky
rk
zk
h kx
O
Biegunowym momentem
bezwładności IO układu punktów
materialnych względem punktu O
nazywamy sumę iloczynów mas mk i
2
kwadratów ich odległości rk od
punktu 0, czyli
y
x
Rys. 6.1. Opis położenia punktu
materialnego
IO =
n
∑ m r = ∑ m (x
2
k k
k
k =1
2
k
)
+ y2 + z2 .
k
k
(6.1)
Momentami bezwładności Ixy, Iyz, Izx względem płaszczyzn xy, yz, zx układu
punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich
odległości od tych płaszczyzn. Zatem mamy:
I xy =
n
∑
k =1
m k z 2 , I yz =
k
n
∑
m k x 2 , I zx =
k
k =1
n
∑m y
k
2
k
.
(6.2)
k =1
Momentami bezwładności Ix, Iy, Iz względem osi x, y, z układu punktów
materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odległości
od tych osi:
(
)
(
)
(
)
n
n
⎫
I x = ∑ m k h 2 = ∑ m k y 2 + z 2 ,⎪
k
k
kx
k =1
k =1
⎪
n
n
2
2 ⎪
2
I y = ∑ m k h ky = ∑ m k z k + x k , ⎬
k =1
k =1
⎪
n
n
2
2
2 ⎪
I z = ∑ m k h kz = ∑ m k x k + y k . ⎪
k =1
k =1
⎭
(6.3)
Oprócz zdefiniowanych wyżej momentów bezwładności względem punktu,
płaszczyzn i osi w dynamice ważną rolę odgrywają wielkości, które nazywamy
momentami dewiacyjnymi (albo momentami mieszanymi lub odśrodkowymi).
Momentami dewiacyjnymi Dxy, Dyz, Dzx układu punktów materialnych
nazywamy sumę iloczynów mas mk przez iloczyn ich odległości od dwóch
prostopadłych płaszczyzn yz i zx, zy i xy, xy i yz. Momenty te wyrażają wzory:
n
⎫
D xy = D yx = ∑ m k x k y k ,⎪
k =1
⎪
n
⎪
D yz = D zy = ∑ m k y k z k , ⎬
k =1
⎪
n
D zx = D xz = ∑ m k z k x k . ⎪
⎪
k =1
⎭
(6.4)
Momenty dewiacyjne mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i
ujemne, ponieważ w powyższych wzorach − w przeciwieństwie do momentów
bezwładności − występują iloczyny, a nie kwadraty
(…)
… red k 2 .
(6.17)
Masę mred nazywamy masą zredukowaną.
Jednostką miary momentu bezwładności jest:
a) w układzie SI
1kg · m2,
b) w układzie technicznym
1 kG · m · s2 .
6.4. Transformacja równoległa momentów bezwładności
Przyjmijmy dwa układy współrzędnych x, y, z i x ′ , y ′ z ′ o osiach odpowiednio
równoległych. Układ x, y, z ma początek w dowolnym punkcie O, a układ x ′ , y ′ z ′
w środku masy C bryły (rys. 6.3).
Środek masy bryły C jest opisany w układzie współrzędnych x, y, z przez
wektor wodzący
rC = x C i + y C j+ z C k .
Położenie elementu masy dm jest określone w układzie x, y, z przez wektor
wodzący r = x i + y j+ z k ,
a w układzie x ′ , y ′ z ′ przez wektor
r ′ = x ′ i + y ′ j+ z ′ k .
Wektory te są związane zależnością:
r = rC + r ′ .
z′
z
dm
r′
r
O
rC
y′
C
x′
y
x
Rys. 6.3. Opis…
…
m
m
m
Pierwsza całka jest całkowitą masą bryły, a druga momentem statycznym
względem środka masy, czyli jest równa zeru. Zatem
m = ∫ dm
∫ r ′ dm = 0 .
oraz
m
m
Trzecia z całek jest biegunowym momentem bezwładności względem środka
masy:
IC =
∫ ( r ′)
2
dm .
m
Ostatecznie biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu
2
I O = I C + m rC .
(6.19)
Na podstawie powyższego równania można sformułować twierdzenie,
nazywane twierdzeniem Steinera dla biegunowych momentów bezwładności:
Moment bezwładności bryły (ciała materialnego) względem dowolnego punktu
jest równy sumie momentu bezwładności względem środka masy i iloczynu masy
bryły przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy.
Obecnie udowodnimy twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn i względem osi…
…
względem płaszczyzn xy, yz i zx.
2
I xy = I x′y′ + mz C ,⎫
2 ⎪
I yz = I y′z′ + mx C ,⎬
2
I zx = I z′x′ + my C . ⎪
⎭
(6.20)
Wzory te wyrażają twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn:
Moment bezwładności ciała materialnego względem dowolnej płaszczyzny jest
równy sumie momentu bezwładności względem płaszczyzny równoległej
przechodzącej przez środek masy oraz iloczynu masy ciała…
… przy
dowolnym obrocie osi l wokół punktu O. Powierzchnia ta jest elipsoidą trójosiową,
nazywaną elipsoidą bezwładności.
Elipsoidą bezwładności nazywamy miejsce geometryczne punktów, których
odległości od początku układu są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka
kwadratowego z momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez dany
punkt i początek układu współrzędnych.
Występujące w równaniu elipsoidy…
…, zależnymi tylko od kształtu ciała. Ogólnie można
powiedzieć, że masowy moment bezwładności jest iloczynem gęstości przez
geometryczny moment bezwładności.
Każdy moment bezwładności I można w sposób umowny przedstawić w postaci
iloczynu całkowitej masy ciała (układu materialnego, bryły) m i kwadratu pewnej
odległości i2 od przyjętej płaszczyzny, osi lub bieguna. Odległość tę nazywamy
promieniem bezwładności ciała względem danej płaszczyzny, osi lub bieguna.
Ogólnie można zapisać:
I = m i2 .
(6.16)
Tak zdefiniowany promień bezwładności ma praktyczne zastosowanie przy
obliczaniu momentów bezwładności elementów maszyn.
W obliczeniach teoretycznych w dynamice maszyn często występuje
konieczność przedstawienia momentu bezwładności w postaci iloczynu pewnej
masy mred i kwadratu znanej odległości k2, czyli
I = m…
…) spełniającymi zależność:
α 2 + α 2 + α 2 = 1.
x
y
z
(6.24)
Z trójkąta prostokątnego OAA′ (rys. 6.4) mamy:
h 2 = r 2 − (r⋅ 1l ) = x 2 + y 2 + z 2 − (xα x + yα y + zα z ) =
2
2
(
) + y (1 − α ) + z (1 − α ) − 2α
)
= x 2 + y 2 + z 2 − α 2 x 2 + α 2 y 2 + α 2 z 2 + 2α x α y xy + 2α y α z yz + 2α z α x zx =
x
y
z
(
= x2 1− α2
x
2
2
y
2
2
z
x
α y xy − 2α y α z yz − 2α z α x zx.
Po wyznaczeniu ze wzoru (6.24) wyrażeń…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)