6.1. Rodzaje momentów bezwładności W punkcie (4.4) poznaliśmy wielkości charakteryzujące rozkład masy, nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) współrzędne występują w pierwszej potędze. Przekonamy się, że w dynamice doniosłą rolę odgrywają wielkości, w których rozkład masy będzie opisany iloczynem masy punktu i kwadratu jego odległości od punktu, płaszczyzny lub osi. Wielkości te nazywamy masowymi momentami bezwładności lub krótko momentami bezwładności , albo momentami statycznymi drugiego rzędu. Momentem bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu), płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości od bieguna, płaszczyzny lub osi. Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności: 1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu), 2) względem płaszczyzn, 3) względem osi (osiowe momenty bezwładności). W dalszej kolejności zajmiemy się momentami bezwładności układu punktów materialnych i bryły. 6.2. Momenty bezwładności układu punktów materialnych Załóżmy, że mamy układ materialny złożony z n punktów materialnych o masach mk znajdujących się w punktach Ak opisanych wektorami wodzącymi (rys. 6.1). r k z O x y Ak xk yk hkz hky hkx zk mk r k Rys. 6.1. Opis położenia punktu materialnego r i j k k k x y z k . = + + Biegunowym momentem bezwładności IO układu punktów materialnych względem punktu O nazywamy sumę iloczynów mas mk i kwadratów ich odległości od punktu 0, czyli r k 2 ( ) I m r m x y z O k k k k k k k n = = + + ∑ ∑ = 2 2 2 2 1 y ) . (6.1) Momentami bezwładności Ixy, Iyz, Izx względem płaszczyzn xy, yz, zx układu punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich odległości od tych płaszczyzn. Zatem mamy: I m z I m x I m xy k k k n yz k k k n zx k k k n = = = = = = ∑ ∑ ∑ 2 1 2 1 2 1 , , . (6.2) Momentami bezwładności Ix, Iy, Iz względem osi x, y, z układu punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odległości od tych osi: ( ) ( ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + = = + = = + = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = . y x m h m I , x z m h m I , z y m h m I n 1 k n 1 k 2 k 2 k k 2 kz k
(…)
… red k 2 .
(6.17)
Masę mred nazywamy masą zredukowaną.
Jednostką miary momentu bezwładności jest:
a) w układzie SI
1kg · m2,
b) w układzie technicznym
1 kG · m · s2 .
6.4. Transformacja równoległa momentów bezwładności
Przyjmijmy dwa układy współrzędnych x, y, z i x ′ , y ′ z ′ o osiach odpowiednio
równoległych. Układ x, y, z ma początek w dowolnym punkcie O, a układ x ′ , y ′ z ′
w środku masy C bryły (rys. 6.3).
Środek masy bryły C jest opisany w układzie współrzędnych x, y, z przez
wektor wodzący
rC = x C i + y C j+ z C k .
Położenie elementu masy dm jest określone w układzie x, y, z przez wektor
wodzący r = x i + y j+ z k ,
a w układzie x ′ , y ′ z ′ przez wektor
r ′ = x ′ i + y ′ j+ z ′ k .
Wektory te są związane zależnością:
r = rC + r ′ .
z′
z
dm
r′
r
O
rC
y′
C
x′
y
x
Rys. 6.3. Opis…
…
m
m
m
Pierwsza całka jest całkowitą masą bryły, a druga momentem statycznym
względem środka masy, czyli jest równa zeru. Zatem
m = ∫ dm
∫ r ′ dm = 0 .
oraz
m
m
Trzecia z całek jest biegunowym momentem bezwładności względem środka
masy:
IC =
∫ ( r ′)
2
dm .
m
Ostatecznie biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu
2
I O = I C + m rC .
(6.19)
Na podstawie powyższego równania można sformułować twierdzenie,
nazywane twierdzeniem Steinera dla biegunowych momentów bezwładności:
Moment bezwładności bryły (ciała materialnego) względem dowolnego punktu
jest równy sumie momentu bezwładności względem środka masy i iloczynu masy
bryły przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy.
Obecnie udowodnimy twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn i względem osi…
… przy
dowolnym obrocie osi l wokół punktu O. Powierzchnia ta jest elipsoidą trójosiową,
nazywaną elipsoidą bezwładności.
Elipsoidą bezwładności nazywamy miejsce geometryczne punktów, których
odległości od początku układu są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka
kwadratowego z momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez dany
punkt i początek układu współrzędnych.
Występujące w równaniu elipsoidy bezwładności momenty bezwładności Ix, Iy,
Iz i momenty dewiacyjne Dxy, Dyz, Dzx są współczynnikami równania (6.28) i będą
się one zmieniać wraz z obrotem układu współrzędnych, natomiast kształt i
położenie elipsoidy nie ulegną zmianie.
Elipsoida bezwładności opisuje zatem obiektywne cechy układu materialnego
niezależnie od przyjętego układu współrzędnych.
z′
l
B
b
O
x′
Rys. 6.6. Elipsoida bezwładności
y…
…) spełniającymi zależność:
α 2 + α 2 + α 2 = 1.
x
y
z
(6.24)
Z trójkąta prostokątnego OAA′ (rys. 6.4) mamy:
h 2 = r 2 − (r⋅ 1l ) = x 2 + y 2 + z 2 − (xα x + yα y + zα z ) =
2
2
(
) + y (1 − α ) + z (1 − α ) − 2α
)
= x 2 + y 2 + z 2 − α 2 x 2 + α 2 y 2 + α 2 z 2 + 2α x α y xy + 2α y α z yz + 2α z α x zx =
x
y
z
(
= x2 1− α2
x
2
2
y
2
2
z
x
α y xy − 2α y α z yz − 2α z α x zx.
Po wyznaczeniu ze wzoru (6.24) wyrażeń…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)