Momenty bezwładności - rodzaje

Nasza ocena:

5
Pobrań: 91
Wyświetleń: 1155
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Momenty bezwładności - rodzaje - strona 1 Momenty bezwładności - rodzaje - strona 2 Momenty bezwładności - rodzaje - strona 3

Fragment notatki:

6.1.  Rodzaje momentów bezwładności      W punkcie (4.4) poznaliśmy wielkości charakteryzujące rozkład masy,  nazywane momentami statycznymi. W podanych tam wzorach (4.20) współrzędne  występują w pierwszej potędze. Przekonamy się,  że w dynamice doniosłą rolę  odgrywają wielkości, w których rozkład masy będzie opisany iloczynem masy  punktu i kwadratu jego odległości od punktu, płaszczyzny lub osi. Wielkości te  nazywamy   masowymi momentami bezwładności  lub krótko  momentami   bezwładności , albo momentami statycznymi drugiego rzędu.     Momentem  bezwładności punktu materialnego względem bieguna (punktu),  płaszczyzny lub osi nazywamy iloczyn masy tego punktu i kwadratu jego odległości  od bieguna, płaszczyzny lub osi.    Z powyższej definicji wynika, że istnieją trzy rodzaje momentów bezwładności:  1) biegunowe (momenty bezwładności względem punktu),  2) względem płaszczyzn,  3) względem osi (osiowe momenty bezwładności).    W dalszej kolejności zajmiemy się momentami bezwładności układu punktów  materialnych i bryły.    6.2. Momenty bezwładności układu punktów materialnych     Załóżmy, że mamy układ  materialny złożony z n punktów  materialnych o masach mk  znajdujących się w punktach Ak  opisanych wektorami wodzącymi    (rys. 6.1).  r k   z  O x  y Ak  xk yk  hkz  hky  hkx  zk  mk  r k    Rys. 6.1. Opis położenia punktu  materialnego  r i j k k k x y z  k  .  = + +    Biegunowym  momentem  bezwładności  IO układu punktów  materialnych względem punktu O  nazywamy sumę iloczynów mas mk i  kwadratów ich odległości   od  punktu 0, czyli  r k 2   ( ) I m r m x y z O k k k k k k k n = = + + ∑ ∑ = 2 2 2 2 1 y ) .             (6.1)   Momentami  bezwładności  Ixy, Iyz, Izx   względem płaszczyzn  xy, yz, zx układu  punktów materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk przez kwadraty ich  odległości od tych płaszczyzn. Zatem mamy:    I m z I m x I m xy k k k n yz k k k n zx k k k n = = = = = = ∑ ∑ ∑ 2 1 2 1 2 1 , , .     (6.2)     Momentami  bezwładności  Ix, Iy, Iz    względem osi  x, y, z układu punktów  materialnych nazywamy sumy iloczynów mas mk oraz kwadratów ich odległości  od tych osi:  ( ) ( ( ) ⎪ ⎪ ⎪ ⎭ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ⎫ + = = + = = + = = ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ = = = = = = . y x m h m I , x z m h m I , z y m h m I n 1 k n 1 k 2 k 2 k k 2 kz k

(…)

… red k 2 .
(6.17)
Masę mred nazywamy masą zredukowaną.
Jednostką miary momentu bezwładności jest:
a) w układzie SI
1kg · m2,
b) w układzie technicznym
1 kG · m · s2 .
6.4. Transformacja równoległa momentów bezwładności
Przyjmijmy dwa układy współrzędnych x, y, z i x ′ , y ′ z ′ o osiach odpowiednio
równoległych. Układ x, y, z ma początek w dowolnym punkcie O, a układ x ′ , y ′ z ′
w środku masy C bryły (rys. 6.3).
Środek masy bryły C jest opisany w układzie współrzędnych x, y, z przez
wektor wodzący
rC = x C i + y C j+ z C k .
Położenie elementu masy dm jest określone w układzie x, y, z przez wektor
wodzący r = x i + y j+ z k ,
a w układzie x ′ , y ′ z ′ przez wektor
r ′ = x ′ i + y ′ j+ z ′ k .
Wektory te są związane zależnością:
r = rC + r ′ .
z′
z
dm
r′
r
O
rC
y′
C
x′
y
x
Rys. 6.3. Opis…

m
m
m
Pierwsza całka jest całkowitą masą bryły, a druga momentem statycznym
względem środka masy, czyli jest równa zeru. Zatem
m = ∫ dm
∫ r ′ dm = 0 .
oraz
m
m
Trzecia z całek jest biegunowym momentem bezwładności względem środka
masy:
IC =
∫ ( r ′)
2
dm .
m
Ostatecznie biegunowy moment bezwładności względem dowolnego punktu
2
I O = I C + m rC .
(6.19)
Na podstawie powyższego równania można sformułować twierdzenie,
nazywane twierdzeniem Steinera dla biegunowych momentów bezwładności:
Moment bezwładności bryły (ciała materialnego) względem dowolnego punktu
jest równy sumie momentu bezwładności względem środka masy i iloczynu masy
bryły przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy.
Obecnie udowodnimy twierdzenie Steinera dla momentów bezwładności
względem płaszczyzn i względem osi…
… przy
dowolnym obrocie osi l wokół punktu O. Powierzchnia ta jest elipsoidą trójosiową,
nazywaną elipsoidą bezwładności.
Elipsoidą bezwładności nazywamy miejsce geometryczne punktów, których
odległości od początku układu są odwrotnie proporcjonalne do pierwiastka
kwadratowego z momentu bezwładności względem osi przechodzącej przez dany
punkt i początek układu współrzędnych.
Występujące w równaniu elipsoidy bezwładności momenty bezwładności Ix, Iy,
Iz i momenty dewiacyjne Dxy, Dyz, Dzx są współczynnikami równania (6.28) i będą
się one zmieniać wraz z obrotem układu współrzędnych, natomiast kształt i
położenie elipsoidy nie ulegną zmianie.
Elipsoida bezwładności opisuje zatem obiektywne cechy układu materialnego
niezależnie od przyjętego układu współrzędnych.
z′
l
B
b
O
x′
Rys. 6.6. Elipsoida bezwładności
y…
…) spełniającymi zależność:
α 2 + α 2 + α 2 = 1.
x
y
z
(6.24)
Z trójkąta prostokątnego OAA′ (rys. 6.4) mamy:
h 2 = r 2 − (r⋅ 1l ) = x 2 + y 2 + z 2 − (xα x + yα y + zα z ) =
2
2
(
) + y (1 − α ) + z (1 − α ) − 2α
)
= x 2 + y 2 + z 2 − α 2 x 2 + α 2 y 2 + α 2 z 2 + 2α x α y xy + 2α y α z yz + 2α z α x zx =
x
y
z
(
= x2 1− α2
x
2
2
y
2
2
z
x
α y xy − 2α y α z yz − 2α z α x zx.
Po wyznaczeniu ze wzoru (6.24) wyrażeń…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz