Kręt

Nasza ocena:

5
Pobrań: 14
Wyświetleń: 1043
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Kręt - strona 1 Kręt - strona 2 Kręt - strona 3

Fragment notatki:


7.3.1. Definicja krętu i kręt układu materialnego     Krętem    k O  punktu materialnego o masie   m  względem punktu  O  nazywamy  moment pędu  v p  m =  tego punktu materialnego względem punktu  O:   v r p r k m O × = × = .                   (7.56)     Z  powyższej definicji wynika, że kręt  − zdefiniowany podobnie jak moment siły  względem punktu  − jest wektorem  prostopadłym do płaszczyzny  wyznaczonej przez punkt O i wektor  prędkości  v  (rys. 7.16).    Kręt punktu będzie równy zeru,  poza przypadkami trywialnymi  ( r  = 0 i  v  = 0), gdy wektory  r  i  v   będą  współliniowe.   Jeżeli będziemy mieli układ n  punktów materialnych o masach mk  opisanych wektorami wodzącymi  r k i  poruszających się z prędkością  v k (rys. 7.17), to kręt tego układu materialnego  względem nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów  pędów) nieruchomego punktu O będzie równy sumie krętów (sumie momentów  pędów)    k o m m v O r     Rys. 7.16. Kręt (moment pędu) punktu  materialnego  ∑ ∑ = = × = × = n 1 k k k k n 1 k k k O m  v r p r k .           (7.57)    7.3.2. Redukcja krętu do środka masy      Wzór (7.57) opisuje kręt układu materialnego obliczony względem dowolnego  nieruchomego punktu O. Zadajmy sobie pytanie, jaki będzie kręt tego samego  układu materialnego względem środka masy C. W tym celu przyjmijmy w środku  masy C początek ruchomego układu współrzędnych o osiach    równoległych do odpowiednich osi nieruchomego układu współrzędnych x, y, z   (rys. 7.17). W tej sytuacji układ  ′ ′ ′ x , y , z ′ ′ ′ x , y , z   będzie się poruszał ruchem postępowym  względem układu nieruchomego x, y, z z prędkością środka masy   v C.    v 1  v 2 r C r Ck mk z  x ′  z ′ y ′ y x  r k   C  O  m1  v k m2 mn v n v C v C v Ck       Rys. 7.17. Rozkład prędkości układu punktów materialnych     Przy  takim  założeniu prędkość bezwzględna   v k każdego punktu materialnego  względem układu nieruchomego x, y, z będzie sumą prędkości unoszenia równej  prędkości środka masy  v C i prędkości względnej  v Ck wzgędem układu ruchomego  , nazywanej dalej prędkością względem środka masy:  ′ ′ ′ x , y , z   Ck C k v v v + = .                     (a)  Kręt rozpatrywanego układu punktów materialnych względem środka masy wyrazi  wzór:  ∑ = × = n 1 k k Ck C m k v r k ,                 (7.58) 

(…)

… względem środka masy wyrazi
wzór:
n
k C = ∑ rCk × m k v k ,
(7.58)
k =1
gdzie rCk jest promieniem wodzącym punkt materialny o masie mk w układzie
x ′ , y ′, z ′ . Z rysunku 7.17 wynika, że promień wodzący rk jest równy sumie
promienia wodzącego środka masy rC i promienia rCk:
rk = rC + rCk .
Po wyznaczeniu z tej zależności
rCk = rk − rC
i podstawieniu do wzoru (7.58) otrzymamy:
n
n
n
k =1
k =1
k =1
k C…
… Cy′ j′+ k Cz′ k ′,
r ′ = x ′ i ′+ y ′ j′+ z ′ k ′,
ω = ω x′ i ′+ ω y′ j′+ ω z′ k ′ .
Po rozpisaniu podwójnego iloczynu wektorowego ze wzoru (7.62), zgodnie ze
wzorem (2.34) otrzymamy:
k C = ω ∫ r ′⋅ r ′ dm − ∫ r ′(r ′⋅ ω )dm = ω ∫ (r ′) dm − ∫ (r ′⋅ ω )r ′dm.
2
m
m
m
m
Pierwsza całka występująca po prawej stronie powyższego równania jest
biegunowym momentem bezwładności względem środka masy C:
I C…
… wyraz po lewej stronie powyższego równania jest równy zeru, ponieważ jest
to iloczyn wektorowy wektorów równoległych:
d rC
× m vC = vC× m vC = 0 ,
dt
a pochodna występująca w trzecim wyrazie jest pochodną względem czasu pędu
układu materialnego, równą wektorowi głównemu układu sił zewnętrznych (7.48):
d (m v C ) d p
=
= W.
dt
dt
Po uwzględnieniu powyższych zależności w równaniu (f) i uproszczeniu…
…)
Z powyższych wzorów wynika, że do obliczenia krętu kC bryły swobodnej
względem środka masy C musimy znać wszystkie osiowe momenty bezwładności
i wszyskie momenty dewiacyjne, czyli tensor bezwładności. Wzory (7.65) znacznie
się upraszczają, gdy osie x ′ , y ′, z′ są głównymi centralnymi osiami bezwładności.
W tym przypadku, jak wiadomo z p. 6.5, wszystkie momenty dewiacyjne są równe
zeru i kręt
k C = ω x′ I x…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz