To tylko jedna z 12 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 8
PRZESTRZEŃ METRYCZNA
DEFINICJA 8.1 (DEFINICJA METRYKI)
określmy funkcję
taką, że
warunek nieujemności,
warunek symetrii,
warunek nierówności trójkąta,
Jeżeli d spełnia warunki to mówimy , że d jest metryką, gdy są spełnione tylko 3 pierwsze warunki to d jest półmetryką.
Parę uporządkowaną nazywamy zaś przestrzenią metryczną.
PRZYKŁAD 8.1 (PRZYKŁADY METRYK)
I. Niech Udowodnimy, że tak zdefiniowana funkcja spełnia założenia metryki. Dowód:
Własności wynikają bezpośrednio z własności bezwzględnej wartości.
Udowodnimy punkt . Z definicji mamy:
c.n.u.
II. Niech oraz a) jest to odległość euklidesowa
Dowód:
Warunki są oczywiste, udowodnimy tylko warunek definicji 8.1.
W dowodzie będziemy korzystali z nierówności Cauchy'ego.
ale z nierówności Cauchyego wiemy, że: Zatem
c.k.d.
b)
Niech - jest to tak zwana odległość taksówkowa.
Dowód:
Dowody warunków są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek definicji metryki.
c) - jest to odległość maksimum.
Dowód:
Dowody warunków są oczywiste, udowodnimy zatem tylko warunek definicji metryki.
III. Niech wtedy a) jest to odległość euklidesowa.
b) - odległość taksówkowa.
c) - odległość maksimum.
Dowody są analogiczne jak w przypadku II.
IV. Niech będzie dowolnym zbiorem, takim że Skonstruujmy funkcję d taką, że
wówczas d nazywamy metryką dyskretną.
Udowodnimy, że tak podana funkcja spełnia warunki metryki.
Dowód:
Warunki definicji 8.1. są natychmiastowe z określenia funkcji.
Zajmiemy się zatem warunkiem .
(…)
… skończonej ilości zbiorów otwartych jest zbiorem otwartym)
Uwaga.
Rodzinę podzbiorów z danego zbioru spełniającą warunki nazywamy topologią.
Rodzina zbiorów otwartych przestrzeni metrycznej jest topologią i nazywamy ją topologią indukowaną przez metrykę d.
Dowód TWIERDZENIA 8.1:
( z definicji)
( bo zawiera wszystkie „swoje” kule).
wystarczy przyjąć TWIERDZENIE 8.2
Kula otwarta jest zbiorem otwartym…
… dowolny zbiór otwarty zawierający punkt .
Uwaga.
W naszych rozważaniach będziemy stosować tylko otoczenia kuliste.
DEFINICJA 8.7 (ZBIORY DOMKNIĘTE)
Niech TWIERDZENIE 8.3 (WŁASNOŚCI ZBIORÓW DOMKNIĘTYCH)
(przecięcie dowolnej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).
(połączenie skończonej ilości zbiorów domkniętych jest zbiorem domkniętym).
Dowód. Ad. Ad. Ad. Uwaga.
Kula domknięta jest zbiorem domkniętym.
DEFINICJA 8.8 (DOMKNIĘCIE ZBIORU)
Domknięciem zbioru nazywamy najmniejszy zbiór domknięty obejmujący zbiór .
Domknięcie zbioru będziemy oznaczać przez .
WNIOSEK:
Jeżeli jest rodziną zbiorów domkniętych zawartych w i , to DEFINICJA 8.9 (BRZEG ZBIORU)
Niech , gdzie - oznacza brzeg zbioru .
DEFINICJA 8.10 (GRANICA CIĄGU)
Niech - będzie przestrzenią metryczną
inaczej:
PRZYKŁAD 8.4
Sprawdzić czy ciąg…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)