Wykład 6
Przestrzeń liniowa Rn
Niniejszy podrozdział stanowi wprowadzenie do teorii przestrzeni liniowych. Opanowanie tego materiału jest niezbędny do zrozumienia zasad posługiwania się macierzami oraz teorii rozwiązywania układów równań i nierówności liniowych.
Definicja 6.0.1. Przestrzenią liniową nazywamy strukturę algebraiczną składającą
się ze zbioru V (zwanego zbiorem wektorów), ciała liczbowego K (zwanego ciałem
skalarów) oraz dwóch działań: dodawania wektorów ” + ” : V × V −→ V i mnożenia
wektora przez skalar: ” · ” : V × K −→ V spełniających następujące warunki:
1. ∀a,b∈V
a+b=b+a
2. ∀a,b,c∈V
a + (b + c) = (a + b) + c
3. ∃θ∈V ∀a∈V
a+θ =a
4. ∀a∈V ∃b∈V
a+b=θ
5. ∀a∈V
1·a=a
6. ∀α∈K ∀a,b∈V
α · (a + b) = α · a + α · b
7. ∀α,β∈K ∀a∈V
(α + β) · a = (α · a) + (β · a)
1
8. ∀α,β∈K ∀a∈V
α · (β · a) = (α · β) · a
Uwaga 6.0.1. Zauważmy, że w powyższej definicji występują dwa rózne rodzaje mnożenia i dwa różne rodzaje dodawania: jedno jest działaniem przestrzeni liniowej (wewnętrznym lub zewnętrznym) i jest związane w jakiś sposób z wektorami, a drugie
jest działaniem występującym w ciele K. Mimo to, nie powinno to prowadzić do
nieporozumień. Podobna definicję przestrzeni liniowej można znaleźć, np., w [3]. Ponieważ w dalszej części rozważać będziemy przede wszystkim przestrzenie liniowe
euklidesowe, działania te są czytelnikowi zrozumiałe, a różnica między nimi występującą, choć jedynie subtelna, nie powinna być źródłem komplikacji.
Do przykładów przestrzeni liniowych zaliczyć możemy, np., zbiór liczb rzeczywistych nad ciałem liczb wymiernych z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia,
bądź też zbiór liczb zespolonych wraz z ciałem liczb zespolonych, również z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia. Z bardziej skomplikowanych przykładów
przestrzeni liniowych podać można zbiór wszystkich wielomianów o współczynnikach zespolonych rozpięty nad ciałem liczb zespolonych, czy też zbiór wszystkich
ciągów liczbowych zbieżnych do zera wraz z ciałem liczb rzeczywistych. Dwa ostatnie
przykłady stanowią przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe. Więcej o takich
tworach algebraicznych można przeczytać w podręcznikach do analizy funkcjonalnej,
np. [8].
Z powyższej definicji należy wysnuć jeden istotny wniosek: wektor nie jest tylko
czymś w rodzaju ”skończonego układu liczb rzeczywistych”. Wektorem nazwiemy
bowiem każdy element zbioru V . Podane powyżej przykłady przestrzeni liniowych
obrazują jak różne twory mogą być wektorami (np. ciągi lub funkcje).
Nietrudno spostrzec, że zachodzi
Twierdzenie 6.0.1. Zbiór Rn dla dowolnego n ∈ N wraz z ciałem liczb rzeczywistych
i naturalnie zdefiniowanymi działaniami dodawania i mnożenia tworzy przestrzeń
liniową.
W dalszym ciągu podręcznika jako przestrzeń liniową będziemy uważali przestrzeń liniową euklidesową Rn . Zakładamy, że pojęcia wektora w tej przestrzeni jest
2
znane, tym niemniej, przypomnijmy formalną definicję oraz działania określone na
takichże wektorach.
Definicja 6.0.2. Wektorem w przestrzeni Rn nazywamy dowolny n-elementowy ciąg
składający się z liczb rzeczywistych, co zapisujemy
x1
x2
x= .
.
.
xn
(wektory kolumnowe) lub
x = x 1 x 2 . . . xn
(wektory wierszowe) gdzie xi ∈ Rn .
Wektory należące do tej przestrzeni oznaczać będziemy małymi pogrubionymi literami, np. x, y, v. Geometrycznie wektor można zilustrować w n-wymiarowym układzie współrzędnych jako odcinek skierowany łączący początek układu wspó
(…)
…
lub, równoważnie, jego długością. Określmy też iloczyn skalarny wektorów.
Definicja 6.0.6. Iloczynem skalarnym wektorów x = [x1 , x2 , . . . , xn ] i y =
[y1 , y2 , . . . , yn ] należących do Rn nazywamy wielkość x, y określoną wzorem
n
(xi · yi )
x, y =
i=1
Nietrudno zauważyć, że
x, x = ||x||2
Mamy następujące
4
Twierdzenie 6.0.2 (Nierówność Schwarza). Niech x, y ∈ Rn .
x, y
||x|| · ||y||
Inne własności iloczynu skalarnego ilustruje
Twierdzenie 6.0.3. Niech x, y, z ∈ Rn , α ∈ R.
• x, x
0
• x, y = y, x
• x + y, z = x, z + y, z
• α · x, y = α · x, y
Mając określony iloczyn skalarny w przestrzeni Rn , możemy zająć sie problemem
określenia wzajmenego położenia wektorów w przestrzeni euklidesowej. Zacznijmy
od twierdzenia.
Twierdzenie 6.0.4. Niech x, y ∈ Rn . Zachodzi równość
cos( (x, y)) =
x, y
||x|| · ||y||
Prostym…
… wnioskiem z powyższego twierdzenia jest następujące
Twierdzenie 6.0.5. Niech x, y ∈ Rn . Wektory te są prostopadłe wtedy i tylko wtedy,
gdy x, y = 0 i równoległe wtedy i tylko wtedy, gdy x, y = ||x|| · ||y||.
Zmierzać teraz będziemy do zdefiniowania pojęcia bazy przestrzeni liniowej. Zacznijmy od definicji.
Definicja 6.0.7. Wektor x nazwiemy kombinacją liniową wektorów x1 , x2 , . . . , xk ,
jeżeli istnieją…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)