WYKŁAD 5 KONSTRUKCJA CAŁKI WZGLĘDEM MIARY (Ω, U, μ) - przestrzeń z miarą ƒ: Ω→R I ETAP KONSTRUKCJI CAŁKI WZGLĘDEM MIARY DEFINICJA 5.1 (FUNKCJA PROSTA) ƒ - funkcja prosta :⇔ jeżeli funkcja przyjmuje skończoną ilość wartości {α1, ..., αn...
WYKŁAD 6 Konstrukcja całki względem miary cd Opracowanie: Jan Pieczykolan Niech (Ω, U, μ) - przestrzeń z miarą E ∈ U TWIERDZENIE 6.1 (O WARTOŚCI ŚREDNIEJ) Z: E ∈ U ∧ E ≠ ∅ 0 (…) … w punktach nieciągłości, patrz przykład 6.1) Jeżeli f jest nieciągła w x0 oraz istnieją ∧ to rozbijamy całkę na...
WYKŁAD 7 ZASTOSOWANIA GEOMETRYCZNE CAŁEK DEFINICJA 6.2 (CAŁKA NIEWŁASCIWA - dla przypomnienia) , - przedział, jest przedziałem domkniętym i ograniczonym, - przeliczalny ciąg przedziałów domkniętych zawartych w E, wówczas: , ; UWAGA 7.1 Jeżeli E - przedział domknięty i ograniczony i f całkowalna ...
WYKŁAD 8 PRZESTRZEŃ METRYCZNA DEFINICJA 8.1 (DEFINICJA METRYKI) określmy funkcję taką, że warunek nieujemności, warunek symetrii, warunek nierówności trójkąta, Jeżeli d spełnia warunki to mówimy , że d jest metryką, gdy są speł...
WYKŁAD 9 Zbieżność jednostajna - przestrzeń z miarą DEFINICJA 9.1 (CIĄG CAUCHY'EGO) - ciąg Cauchy'ego co można również zapisać, że TWIERDZENIE 9.1 W przestrzeni metrycznej każdy ciąg zbieżny jest ciągiem Cauchy'ego Z: T: D: dla prawdziwe jest: Wiemy że: oraz A więc na podstawie twierdzenia o tr...
WYKŁAD 14 FUNKCJE UWIKŁANE (DOKOŃCZENIE) I EKSTREMA WARUNKOWE I. FUNKCJE UWIKŁANE Niech Pytamy kiedy równanie F(x,y)=0 przedstawia funkcję uwikłaną y=y(x). TWIERDZENIE 14.1 (O FUNKCJI UWIKŁANEJ) Z: Niech T: 1. 2. 3. WNIOSEK:14.1 Z: są spełnione założenia tw.14.1 T: 1. 2. 3. II....
WYKŁAD 15 SZEREGI Niech: - przestrzeń Banacha tworzymy ciąg : DEFINICJA 15.1 (SZEREGI) { , } - szereg, oznaczenie szeregu (1): DEFINICJA 15.2 Szereg (1) jest zbieżny , , S nazywamy sumą szeregu (1) i oznaczamy TWIERDZENIE 15.1 (WARUNEK KONIECZNY ZBIEŻNOŚCI SZEREGU) Z: szereg - zbieżny T: Dowó...
