Pojęcie zupełności.

Nasza ocena:

5
Pobrań: 7
Wyświetleń: 1204
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Pojęcie zupełności. - strona 1 Pojęcie zupełności. - strona 2 Pojęcie zupełności. - strona 3

Fragment notatki:

Def. 1) Zupełność/niezupełność w sensie klasycznym
a) zbiór formuł X jest zupełny (symbolicznie: X e ZUP) wtw dla każdego zdania A, albo A e CnL(X), albo (~A) e CnL(X).
b) Zbiór formuł X jest niezupełny (symbolicznie: X e/ ZUP) wtw istnieje zdanie A takie, że A e/ CnL(X) i zarazem (~A) e/ CnL(X)
[e/ → nie jest elementem]
/odpowiedzią na jakiekolwiek pytanie rozstrzygnięcia może być wyłącznie zdanie/.
Dygresja. Należy podkreślić, że mówi się tu o zdaniach, a nie o dowolnych formułach. Definicja tu podana wyraża fakt (nie)zupełności teorii, gdy X=CnL(X). Niezupełność teorii oznacza, że pewne zdanie (z jej języka) nie może być na podstawie jej aksjomatów ani udowodnione, ani obalone - rozgałęzia się ona ze względu na to zdanie.
Kilka twierdzeń charakteryzujących pojęcie zupełności:
Twierdzenie 1. X e ZUP wtw CnL(X) e ZUP.
Twierdzenie 2. Dla dowolnego zbioru formuł X, jeżeli X e/ ZUP, to X e NSP.
/NSP - niesprzeczność/.
Twierdzenie 3. Niech X e NSP. Wówczas X e ZUP wtw dla każdej formuły A takiej, że A e/ CnL(X), X u {A} e/ NSP.
Rozszerzenie niesprzecznego i zupełnego zbioru formuł X o formułę A względem niego niezależną prowadzi do sprzeczności.
Dowód: (→) Załóżmy, że X e NSP, X e ZUP i A e/ CnL(X). Wykażemy, że w tej sytuacji X u {A} e/ NSP. Skoro A e/ CnL(X), więc także _ _ A e/ CnL(X). Ponieważ X e ZUP i A jest zdaniem, więc:
_
(~A) e CnL(X) oraz
_
(~A) e CnL(X u {A}) [z uwagi na monotoniczność operacji CnL).
Z drugiej strony,
A e CnL(X u {A}) [z uwagi na zwrotność operacji CnL) i
_
A e CnL(X u {A}) [z uwagi na twierdzenie generalizacji]
To zaś oznacza, że X u {A} e/ NSP.
(←) Załóżmy, że dla każdej formuły A takiej, że A e/ CnL(X), X u {A} e/ NSP, zaś dla dowodu nie wprost załóżmy, że X e/ ZUP. Gdy X e/ ZUP, wówczas istnieje zdanie A takie, że A e/ CnL(X) i (~A) e/ CnL(X). Stąd wnosimy, że X u {A} e NSP, wbrew założeniu twierdzenia [korzystamy tu z twierdzenia: Jeżeli formuła A jest zdaniem oraz (~A) e/ CnL(X), to X u {A} e NSP).
Twierzenie do pozwala zdefiniować pojęcie niesprzeczności inaczej, w sposób bardziej ogólny:
Def 2. Zupełność / niezupełność w sensie Posta
a) zbiór formuł X jest zupełny w sensie Posta (lub maksymalnie niesprzeczny) wtw dla każdej formuły A takiej, że A e/ CnL(X), CnL(X u {A}) = J.
b) Zbiór formuł X jest niezupełny w sensie Posta wtw istnieje formuła A taka, że A e/ CnL(X) i CnL(X u {A}) =/= J.


(…)

…/.
Lemat Lindenbauma o nadzbiorach zupełnych (maksymalnych).
Jeżeli X jest niesprzeczną teorią pierwszego rzędu w języku J, to istnieje teoria Y, która jest niesprzecznym i zupełnym rozszerzeniem teorii X. Zbiór Y nazywamy wówczas nadzbiorem Lindenbauma.
KRP nie jest zupełny ani w sensie pierwszym, ani drugim.
[Zupełny jest KRZ z kwantyfikatorami wiążącymi zmienne zdaniowe]
Twierdzenia Godla zachodzą…
… teorii matematycznej/; Umysł a maszyny /sztuczna inteligencja/: - silna teza mechanicyzmu: → człowiek = maszyna (La Mattrie) → Umysł ludzki (w ogóle w pewnym zakresie, np. matematyki, tylko arytmetyki) = maszyna - słaba teza mechanicyzmu:
→ człowiek może być symulowany przez maszynę [robota] → umysł ludzki - w ogóle lub w pewnym zakresie, np. matematyki, tylko arytmetyki - może być symulowany…
…” 36 [1961r.] → przetłumaczony na polski w internecie/.
W cieniach umysłu Roger Penrose wyróżnia cztery stanowsika dotyczące zasad działania świadomości:
A) stanowisko silnej sztucznej inteligencji: „myślenie zawsze polega na obliczeniach a w szczególności świadome doznania powstają wskkutek realizacji odpowiedniego procesu obliczeniowego”.
B) Stanowisko słabej sztucznej inteligencji: „świadomość…
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz