Udowodnienie niesprzeczności

Nasza ocena:

5
Wyświetleń: 756
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Udowodnienie niesprzeczności - strona 1 Udowodnienie niesprzeczności - strona 2 Udowodnienie niesprzeczności - strona 3

Fragment notatki:

1. UDOWODNIENIE NIESPRZECZNOŚCI KRP TWIERDZENIE 6 Ogólna metoda dowodzenia niesprzeczności teorii elementarnych Niech X będzie teorią w języku J 1 , a Y teorią w języku J 2 . Jeżeli:
H jest funkcją przekształcającą zbiór X w zbiór Y (H:X → Y) taką, że zachowuje negację tj. spełnia warunek: H(~A) = ~H(A) dla dowolnej formuły A є X i przy tym:
Y є NSP
to także X є NSP.
DOWÓD NWP
Załóżmy, że X=C nL (X), Y=C nL (Y), H(~A) = ~H(A), Y є NSP i X є NSP. Wówczas istnieje taka formuła A, że A є X i ~A є X. Ponieważ funkcja H zachowuje negację, więc wśród jej wartości dla argumentów należących do teorii X znajdują się dwie formuły sprzeczne H(A) i ~H(A). Znaczy to, że Y є NSP, co jest wbrew założeniu.
WADY TEJ METODY
Wymaga ona posiadania "banku" teorii o udowodnionej niesprzeczności, poprzestawanie na wynikach względnych (X jest niesprzeczna o ile Y jest niesprzeczna, Y jest niesprzeczna o ile Z jest niesprzeczna etc.)
funkcja H - językowi KRP przyporządkowuje język KRZ
DEFINICJA H(┌ P k (t 1 ,...,t n ) ┐) = ┌ p ┐
H(┌ ~A ┐) = ~H(A) ┐
H(┌ A ☺ B ┐) = ┌ H(A) ☺ H(B) ┐ gdzie ☺ to i, lub, jeżeli, wtw
H(┌ Q x1 (A) ┐) = ┌ H(A) ┐ gdzie Q x1 to A lub E (kwantyfikatory)
np. H(┌ ∀xP(x) v ~∃xP(x) ┐) = H(┌ ∀xP(x) ┐) v H(┌ ~∃xP(x) ┐)
= H(┌ ∀xP(x) ┐) v ~H(┌ ∃xP(x) ┐)
= H(┌ P(x) ┐) v ~H(┌ P(x) ┐)
= p v ~p
LEMAT 7 Jeżeli A є L (jest tezą rachunku zdań, gdzie L = C nL ( Arp )) to H(A) = Trz (tautologia rachunku zdań)
(dow Batóg, s. 168)
TWIERDZENIE 8 O niesprzeczności KRZ Nie istnieje formuła A taka, że A є L i (~A) є L.
DOWÓD NWP
Przypuśćmy, że A є L i (~A) є L. Na mocy lematu 6 H(A) є Trz i H(~A) є Trz. Ponieważ H(~A) = ~H(A), to H(A) є Trz i ~H(A) є Trz, co jest niemożliwe, bo gdy jakaś formuła jest tautologią rachunku zdań, to jej negacja nie może być również tautologią.
2. NIEZALEŻNOŚĆ KRP Każdy aksjomat powienien być niezależny od reszty aksjomatów.
DEFINICJA 1 O niezależności zbiór formuł X jest niezależny (X є NZL) wtw dla dowolnej formuły A, gdy A є X, A є C nL (X-{A})
formuła A jest niezależna względem zbioru X wtw A є C nL (X)
Niezależność w sensie b) to niewyprowadzalność formuły ze zbioru.
Niezależność nie jest tak ważną własnością, jak niesprzeczność. Aksjomat zależny od reszty można bez problemu usunąć, niezależność jest raczej postulatem estetycznym.
... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz