Niech M= i M* - będą jakimikolwiek interpretacjami tego samego języka Def. 5) Homorfizm/izomorfizm interpretacji. Interpretacje M i M* są homorficzne wtw:
Istnieje funkcja h przekształcająca uniwersum U interpretacji M na uniwersum M* interpretacji M* (czyli h(U) = U*, a nadto Dla każdego Predykatu P i n (rozważanego języka) oraz dla wszystkich elementów u1, …, un e U zachodzi równoważność:
/_\(P i n )(u1,..., un) ↔ /_\*(P i n (h(u1), …, h(un)): Dla każdego symbolu funkcyjnego f n i (rozważanego języka) oraz dla wszystkich elementów u1, …, un e U zachodzi równość:
h(/_\(f n i )(u1,..., un)) = /_\*(f i n )(h(u1), ...h(un)): dla każdej stałej indywiduowej ai, h(/_\(ai)) = /_\*(ai). Jeżeli ponadto funkcja h jest różnowartościowa, to mówimy, że interpretacje M i M* są izomorficzne.
Komentarze: a) Niech h(ui) = kopia elementu ui wedle funkcji h. Wówczas równoważność w punkcie (2) powyższej definicji głosi, że relacja /_\(P n i ) zachodzi między elementami u1, …, un wtw relacja /_\*(P i n ) zachodzi pomiędzy kopiami tych elementów wyznaczonymi przez funkcję h. Analogicznie można odczytać pozostałe dwa punkty.
(b) Jeżeli funkcja h ustala homomorfizm interpretacji M na interpretację M* (ale nie ustala izomorfizmu), to istnieją takie przedmioty u, v, w oraz relacja R = /_\(P), że zachodzi przypadek przedstawiony na rysunku (strzałka czarna reprezntuje relacje R):
(c) każdy izomorfizm jest homorfizmem ale nie odwrotnie
Przykład: Niech T będzie teorią z identycznością, której język zawiera - oprócz zmiennych i stałych logicznych - następujący termin swoisty:
(…)
… liczb naturalnych) ani modeli np. wyłącznie mocy continuum (tj. uniwersach równolicznych ze zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych).
Twierdzenie 23. Każdy model przeliczalny zbioru formuł X jest izomorficzny z pewnym modelem tego zbioru mającym jako uniwersum zbiór liczb naturalnych.
Z twierdzenia tego oraz tw. Godla o istnieniu modelu wynika, że każda niesprzeczna teoria 1. rzędu posiada model…
… teraz system:
R = <R, =, <, +, *, 0, 1>,
gdzie R jest zbiorem liczb rzeczywistych ze znanymi relacjami, działaniami, zerem, jedynką.
System ten nie jest przeliczalny (mocy continuum). Rozważmy zbiór:
TR = {A: A e Vr(R)}
Zbiór Tr e NSP. A zatem Tr ma model przeliczalny. Tak więc dla zbioru Tr, który może być nazwany teorią liczb rzeczywistych i opisuje nieprzeliczalny zbiór R, można znaleźć model przeliczalny…
…(<)
1
Zbiór liczb rzeczywistych R
Identyczność
Bycie mniejszą
2
Zbiór punktów na prostej P
Pokrywanie się
Leżenie na lewo
3
Zbiór punktów czasowych C
Równoczesność
Bycie wcześniejszym
Izomorfizm np. interpretacji (3) i (1) ustala funkcja h: C → R taka, że:
h(C) = R oraz dla dowolnych c1, c2 e C jeżeli c != c2, to h(c1) != h(c2)
dla dowolnych c1, c2 e C zachodzą równoważności:
/_\1(=)(c1, c2) ↔ /_\3…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)