To tylko jedna z 5 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Tw. 5) Semantyczne twierdzenie o odrywaniu:
Jeżeli (A → B) e Vr(M) i A e Vr(M), to B e Vr(M).
Dowód: Przypuśćmy, że:
(A → B) e Vr(M), A e Vr(M) oraz
B /e Vr(M) (zalożenie dowodu nie wprost)
Skoro B /e Vr(M), więc istnieje wartościowanie takie, że
(*) ~( Spł M B)
Ponieważ jednak (A → B) e Vr(M), więc Spł M |A → B|, a także
(**) Spł M A → SpłM B. Stąd oraz (*) wnosimy, że ~() Spł M A). A zatem /e Vr(M), wbrew jednemu z założeń twierdzenia.
Tw. 6) Semantyczne twierdzenie o generalizacji:
Jeżeli A e Vr(M), to |\-/xi(A)| e Vr(M).
Dowód: Niech będzie dowolnym M-wartościowaniem. Z definicji prawdy wynika bezpośrednio, że każdy ciąg spełnia formułę A, więc również w szczególności \-/u e U ((w/u)Spł M A).
To jednak znaczy, że SpłM |\-/xi(A)| [punkt 4. definicji spełniania]. Stąd zaś - wobec dowolności ciągu - wnosimy, że |\-/xi(A)| e Vr(M).
Tw. 7) Jeżeli |\-/xi (A)| e Vr(M), to A e Vr(M).
Dowód: /analogicznie do poprzedniego/; niech będzie dowolnym M-wartościowaniem. Z definicji prawdy wynika, że Spł M |\-/xi(A)|. Stąd na mocy definicji spełniania \-/u e U ((w/u)Spł M A). Ale przecież wi e U, więc biorąc wi za u dostajemy wniosek, że Spł M A. Wobec dowolności ciągu znaczy to, ze A e Vr(M).
/silne twierdzenie o generalizacji w oparciu o te dwa twierdzenia/
Tw. 8) Semantyczne twierdzenie o generalizacji - sile: _
A e Vr(M) wtw A e Vr(M).
Na mocy tego twierdzenia funkcja zdaniowa jest prawdziwa, gdy jej uniwersalne domknięcie jest prawdziwe.
np. |3y Okrąża(x,y)| e Vr(M) ↔ |\-/x3y Okrąża(x,y)| e Vr(M) ↔ \-/u e U 3v e U( e OKRĄŻA).
Tw. 8) Cn(Vr(M)) = Vr(M)
Słownie: zbiór formuł prawdziwych (przy danej interpretacji M) jest teorią.
Dowód: /identyczność: x = y ↔ x _c y ^ y _c x / Vr(M) _c Cn(Vr(M)). Na mocy zwrotności operacji Cn.
Cn(Vr(M)) _c Vr(M), czyli dla dowolnej formuły A, jeżeli A e Cn(Vr(M)), to A e Vr(M). Przypuśćmy więc, że A e Cn(Vr(M)). Znaczy, to że istnieje dowód (derywacja) formuły A w oparciu o zbiór Vr(M). Niech tym dowodem będzie ciąg formuł D1,..., Dn: oczywiście. Dk = A. Wykażemy, iż dla dowolnego i _
(…)
… arytmetykę Peano (PA) a JT jej językiem. Tw. 12) Tarskiego o niedefiniowalności pojęcia prawdy: Nie istnieje formuła Tr(x) języka JT definiująca zbiór zdań prawdziwych teorii T, tzn. taka, że dla dowolnego zdania A języka JT,
T |- A ↔ Tr(|A|).
Dowód twierdzenia Tarskiego o niedefiniowalności prawdy opiera się na pomyśle arytmetyzacji (|A| jest nazwą kodu zdania A, a Tr(x) jest predykatem arytmetycznym) oraz następującym lemacie:
Lemat 13 (Kłamca) Przypuśćmy że istnieje w języku JT formuła Tr(x) definiująca zbiór zdań prawdziwych. Wtedy teoria T jest sprzeczna.
Dygresja: Dowód lematu:
wykorzystuje lemat przekątniowy - możemy zbudować zdanie „mówiące” o sobie samym, tylko, że nie jest prawdziwe
powtarza najważniejsze składniki rozumowania występującego w antynomii kłamcy dla języka potocznego (stąd nazwa…
… A)
→ ~\-/<wn>(<wn> SpłM A)
→ ~\-/<wn>(<wn>Spł M |~A|)
→ (~A) /e Vr(M).
Rekapitulując, definicja Tarskiego ma następujące własności:
jest sformułowana w metajęzyku
jest merytorycznie trafna w sensie Konwencji T /można z niej wyprowadzić prawdziwość cząstkową/
pokazuje w jaki sposób forma logiczna formuły/zdania wpływa na jej wartość logiczną
unika antynomii semantycznych
pociąga semantyczną zasadę wyłączonego…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)