To tylko jedna z 8 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Def. 1) Interpretacją semantyczną danego języka pierwszego rzędu nazywamy dowolną parę uporządkowaną M = taką, że U jest dowolnym zbiorem niepustym (zwanym uniwersum interpretacji) zaś /_\ jest funkcją przyporządkowującą stałym pozalogicznym rozważanego języka elementy zbioru U lub konstrukcje z tych elementów w sposób spełniający zasadę kategorialnej zgodności (zwaną funkcją denotowania):
Dla każdego n-argumentowego predykatu P n i , /_\(P n i ) jest n-członową relację zachodzącą między elementami zbioru U (symbolicznie: /_\(P n i ) _c U n );
Dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego f i n , /_\(f n i ) jest n-argumentową funkcją o argumentach i wartościach w zbiorze U;
Dla każdej stałej indywiduowej a i , /_\(a I ) jest elementem wyróżnionym ze zbioru U (symbolicznie: /_\(a i ) e U) Cała strona formalna konstrukcji Tarskiego dotyczy podana definicja spełniania takiej, że:
będzie dotyczyła ona zarówno funkcji zdaniowych jak i zdań;
będzie miała postać definicji rekurencyjnej względem budowy formuł, tj. spełnianie formuł złożonych będzie w sposób jednoznaczny określone przez spełnianie prostszych formuł składowych;
pozwoli zdefiniować prawdziwość zgodnie z Konwencją (T):
Formalnie poprawną definicję pewnego wyrażenia oznaczającego pewien zbiór zdań języka przedmiotowego J, sformułowaną w jego metajęzyku MJ można uważać za merytorycznie trafną definicję pojęcia prawdy, jeśli pozwala ona udowodnić w MJ wszystkie równoważności powstające ze schematu (T):
(T) Prawdziwe(a) ↔ a MJ gdzie a reprezentuje nazwę jednostkową zdania a, a a MJ jego przekład na metajęzyk MJ.
Funkcja wartościowania. Rozważmy formułę: x+1=y.
Ze zmiennymi w tej formule można skorelować różne ciągi liczb, np.
c = ,
s = .
Ciąg c koreluje ze zmienną x (pierwszą zmienną) pierwszy swój wyraz, czyli liczbę 7 a ze zmienną y (druga zmienna) drugi swój wyraz, czyli liczbę 8. Natomiast ciąg s koreluje ze zmienną x liczbę 6 a ze zmienną y liczbę 4. Obiekty skorelowane w ten sposób ze zmiennymi nazywa się ich wartościami, a ciąg który poszczególnym zmiennym przyporządkowuje wartości nazywa się wartościowaniem.
Wniosek: Wartość zmiennej nie jest stała lecz zmienia się od jednego wartościowania do drugiego. Natomiast, wartość nazwy jest stała (niezależna od wartościowania), tj. przy każdym wartościowaniu wartością danej nazwy jest przedmiot przyporządkowany jej przez funkcję denotowania.
Def. 2) Wartościowanie. Nieskończone ciągi elementów uniwersum danej intepretacji M nazywamy M-wartościowaniami lub - po prostu - wartościowaniami (gdy interpretacja M jest ustalona).
(…)
… złożonego fi(t1,..., tn) jest wartość funkcji /_\(fi) dla argumentów Wm(t1, <wn>), …, Wm(tn, <wn>) (tj. wartości termów t1, … tn). Przykład; Niech U = {0,1,2,...} Niech Ponadto: /_\(0) = 0 /_\(+) = sum, gdzie „sum” jest dodawaniem liczb naturalnych. Wtedy: Wm(|x+0|, <2,...>) = /_\(+)(Wm(x, <2,...>), Wm(0, <2,...>)) = sum(2,0) = 2 Twierdzenie 1. Jeżeli <wn> i <vn> są M-wartościowaniami nie różniącymi…
… punkcie 2 jest ciąg pusty, tj. ciąg o 0 liczbie wyrazów. Spełnianie zdań zależy bowiem tylko od denotacji stałych pozalogicznych.
Mamy już wszystkie „narzędzia” niezbędne do zdefiniowania pojęcia prawdy.
/Pojęcie prawdy jako szczególny przypadek pojęcia spełniania/
Def. 3) Prawdziwość/Fałszywość. Formuła A jest prawdziwa przy interpretacji M=<U, /_\> wtw każdy nieskończony przeliczalny ciąg elementów…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)