To tylko jedna z 7 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
Niech X będzie zbiorem formuł języka J, a A niech będzie jedną z formuł tego języka.
Def. 10. Wynikanie semantyczne: Formuła A wynika semantycznie ze zbioru formuł X wtw każdy model zbioru X jest też modelem formuły A.
Oznaczanie:
X |= A czytamy: formuła A wynika semantycznie ze zbioru formuł X lub formuła A jest konsekwencją semantyczną zbioru formuł X.
X |=/= A czytamy: formuła A nie wynika semantycznie ze zbioru formuł X.
Symbolicznie:
X |= A ↔ \-/M (X _c Vr(M) → A e Vr(M))
X |= A ↔ ~3M (X _c Vr(M) ^ A /e Vr(M)).
Tw. 25: _ _
{A1, …, An} |= B wtw implikacja A1 ^ … ^ An → B jest tautologią.
_ _
Dowód ( → ). Załóżmy, że {A1, …, An} |= B oraz - dla dowodu nie wprost - że (A1 ^ … ^ An → B) /e Taut.
Wtedy istnieją interpretacja M oraz M-wartościowanie takie, że
_
SpłM Ai dla dowolnego l _ SpłM B).
_ _
Skoro każde (domknięcie) Ai jest zdaniem (l _
(…)
…, …, An} |= B wtw implikacja A1 ^ … ^ An → B jest tautologią.
/uproszczona wersja tw. O dedukcji (semantyczne twierdzenie o dedukcji)/.
Tw. 27 (o logicznej prawdziwości) (/) |= A wtw A e Taut.
Idea: tautologię to formuły uznawane bezwarunkowo.
Dowód ( → ) Załóżmy, że (/) |= A. Znaczy to, że dla dowolnej interpretacji M, jeżeli (/) _c Vr(M), to A e Vr(M).
Oczywiście (/) _c Vr(M) (bo zbiór pusty zawiera…
… Taut. To dla dowolnego zbioru formuł X, X |= A.
/tautologie to formuły wynikające z dowolnych zbiorów formuł, również z pustego/
Każda tautologia wynika semantycznie z dowolnego zbioru formuł (w tym zbioru pustego).
Dowód tego tw. Korzysta z tw. Poprzedniego. Wymaga ponadto pokazania, że wynikanie semantyczne ma własność finitystyczności, czyli: X |= A wtw istnieje skończony podzbiór Y zbioru X…
…. Godla o istnieniu modelu zachodzi wtedy: _ _
X u {~A} _c Vr(M). Znaczy to, że X _c Vr(M) i (~A) e Vr(M). _ _
Skoro (~A) e Vr(M) więc na mocy Semantycznej zasady niesprzeczności: A /e Vr(M), zaś na mocy semantycznego tw. O generalizacji: A /e Vr(M). Znaczy to, że intepretacja M jest modelem zbioru formuł X, ale nie jest modelem formuły A, czyli X |=/= A, wbrew założeniu twierdzenia.
( ← ) Załóżmy…
… jest kategoryczna wtw dowolne dwa jej modele standardowe są izomorficzne.
Tylko teorie zupełne o modelach skończonych mogą być w tym sensie kategoryczne.
Takie których uniwersum jest zb. Nieskończonym mają modele wysokich mocy są niekategoryczne.
Teoria T jest kategoryczna w mocy a wtw teoria T ma model standardowy o mocy a i dowolne dwa modele standardowe teorii T o mocy a są izomorficzne.
Krytyka semantyki…
… zbiorów nieskończonych /istnieją wyłącznie istnienie potencjalne/;
Odrzucają aksjomat wyboru bo uznaje się istnienie zbioru, ale nie podaje się konstrukcji zbioru.
Brauer, Heyting - konstruktwyiści.
/pytanie o to czy matematycy są odkrywcami czy twórcami/.
Inna krytyka semantyki ekstensjonalnej: związana z redukcją /np. relacje do par indywiduów, itp./; zarzuca się redukowanie bogactwa świata…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)