Momenty wektora - omówienie

Nasza ocena:

3
Wyświetleń: 343
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Momenty wektora - omówienie - strona 1 Momenty wektora - omówienie - strona 2 Momenty wektora - omówienie - strona 3

Fragment notatki:

2.5. Moment wektora względem osi
Zajmiemy się obecnie zdefiniowaniem wielkości będącej miarą działania
obrotowego wektora względem osi. Wielkość tę nazywamy momentem wektora
względem osi. W tym celu przyjmiemy, że dany jest dowolny wektor a oraz oś l,
której kierunek jest określony przez wektor jednostkowy el (rys. 2.12).
Momentem wektora a względem osi l nazywamy rzut na tę oś momentu tego
wektora względem dowolnego punktu O tej osi:
M l = M l (a ) = Rz l [M O (a )] = M O (a )cosα.
(2.39)
l
el

MO(a)
Mlel
a
α
rA
O
A
OA′
O
Rys. 2.12. Moment wektora względem osi
Na podstawie
wzoru (2.15) moment wektora względem osi możemy
przedstawić w postaci iloczynu skalarnego momentu wektora względem punktu i
wersora osi:
M l = M O (a ) ⋅ e l .
Ponieważ moment
wektorowemu:
wektora
względem
punktu
jest
równy
iloczynowi
M O (a ) = rA × a ,
moment wektora względem osi można zapisać w postaci iloczynu mieszanego:
M l = (rA × a ) ⋅ e l .
(2.40)
Tak zdefiniowany moment wektora względem osi jest skalarem. Definicja ta
jest wystarczająca, ponieważ wektor M l (a )e l jest skierowany wzdłuż osi l, przeto
do jego opisu wystarczy podanie tylko jego wartości.
Aby podana na wstępie definicja momentu względem osi była jednoznaczna,
należy wykazać, że rzut na oś l momentu wektora a względem punktu O leżącego
na tej osi nie zależy od położenia punktu O na tej osi. W tym celu obliczymy
moment wektora a względem innego punktu O ′ leżącego na osi l (rys. 2.12) i
dokonamy jego rzutu na tę oś:
[
]
Rz l M O′ (a ) = M O′ (a ) ⋅ e l .
(a)
Na podstawie rys. 2.12 wektor O ′A możemy przedstawić jako sumę wektora
O ′O i rA :
O ′A = O ′O + rA .
Po podstawieniu tej zależności do wzoru (a) oraz skorzystaniu z własności
iloczynu mieszanego otrzymamy:
[
]
Rz l [M O′ (a )] = ( O ′O + rA ) × a ⋅ e l = ( O ′O × a + rA × a ) ⋅ e l =
= (O ′O × a ) ⋅ e l + ( rA × a ) ⋅ e l = ( e l × O ′O) ⋅ a + ( rA × a ) ⋅ e l .
Ponieważ wektory e l i O ′O są równoległe, ich iloczyn wektorowy jest równy
zeru: e l × O ′O = 0 , ostatecznie otrzymujemy:
Rz l [M O′ (a )] = ( rA × a ) ⋅ e l = Rz l [M O (a )],
czyli rzut na oś momentu wektora względem punktu na osi nie zależy od położenia
punktu na osi.
Z definicji momentu względem osi wynika, że będzie on równy zeru, jeżeli
moment MO(a) będzie równy zeru lub jego rzut na oś będzie równy zeru. Będzie
tak, gdy kierunek wektora a będzie przecinał oś l lub będzie do niej równoległy.
Z określenia momentu wektora względem osi możemy zauważyć, że rzuty
momentu MO(a) wektora a względem początku układu współrzędnych
O (rys. 2.11) na osie prostokątnego układu współrzędnych są równocześnie
momentami tego wektora względem osi x, y, z. Na podstawie wzorów (2.38)
momenty wektora a względem osi x, y, z będą opisane równaniami:
M x = M Ox = ya z − za y ,⎫

M y = M Oy = za x − xa z ,⎬
M z = M Oz = xa y − ya x .⎪

(2.41)
W oparciu o powyższe wzory można podać drugi sposób obliczania momentu
wektora względem osi. Na przykład z pierwszego wzoru ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz