Momenty wektora względem osi - Iloczyn wektorowy

Nasza ocena:

5
Wyświetleń: 497
Komentarze: 0
Notatek.pl

Pobierz ten dokument za darmo

Podgląd dokumentu
Momenty wektora względem osi - Iloczyn wektorowy - strona 1 Momenty wektora względem osi - Iloczyn wektorowy - strona 2 Momenty wektora względem osi - Iloczyn wektorowy - strona 3

Fragment notatki:

2.5. Moment wektora względem osi     Zajmiemy  się obecnie zdefiniowaniem wielkości będącej miarą działania  obrotowego wektora względem osi. Wielkość tę nazywamy  momentem wektora  względem osi . W tym celu przyjmiemy, że dany jest dowolny wektor  a  oraz oś l,  której kierunek jest określony przez wektor jednostkowy  e l (rys. 2.12).     Momentem wektora    a    względem osi  l  nazywamy rzut    na    tę  oś    momentu    tego   wektora względem dowolnego punktu  O  tej osi:    ( ) ( ) [ ] ( ) . cos M Rz M M O O l l l α = = = a a M a       (2.39)        OA ′ l e l a A O O r A M O( a)  α ⋅ Ml e l     Rys. 2.12. Moment wektora względem osi      Na podstawie  wzoru (2.15) moment wektora względem osi możemy  przedstawić w postaci iloczynu skalarnego momentu wektora względem punktu i  wersora osi:    ( ) l O l M e a M ⋅ = .    Ponieważ moment wektora względem punktu jest równy iloczynowi  wektorowemu:    ( ) a r a M × = A O ,    moment wektora względem osi można zapisać w postaci iloczynu mieszanego:    ( ) l A l M e a r ⋅ × = .                 (2.40)      Tak zdefiniowany moment wektora względem osi jest skalarem. Definicja ta  jest wystarczająca, ponieważ wektor  ( ) l l M e a  jest skierowany wzdłuż osi l, przeto  do jego opisu wystarczy podanie tylko jego wartości.    Aby podana na wstępie definicja momentu względem osi była jednoznaczna,  należy wykazać, że rzut na oś l momentu wektora  a  względem punktu O leżącego  na tej osi nie zależy od położenia punktu O na tej osi. W tym celu obliczymy  moment wektora  a  względem innego punktu  ′ O  leżącego na osi l (rys. 2.12) i  dokonamy jego rzutu na tę oś:    ( ) [ ] ( ) Rz l O O M a M a e ′ ′ = l ⋅ .               (a)        Na podstawie rys. 2.12 wektor  ′ O A   możemy przedstawić jako sumę wektora  :  ′ O O r i A . A r O O A O + ′ = ′     Po podstawieniu tej zależności do wzoru (a) oraz skorzystaniu z własności  iloczynu mieszanego otrzymamy:    ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Rz l O l l l A l l A l M a O O r a e O O a r a e O O a e r a e e O O a r a e A A ′ = ′ + × ⋅ = ′ × + × ⋅ = = ′ × ⋅ + × ⋅ = × ′ ⋅ + × ⋅ .     Ponieważ wektory    są równoległe, ich iloczyn wektorowy jest równy  zeru:   e O e O O l i ′ ... zobacz całą notatkę

Komentarze użytkowników (0)

Zaloguj się, aby dodać komentarz