To tylko jedna z 53 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
5.1. Uwagi ogólne
Jak już powiedziano w punkcie 1.1, kinematyka zajmuje się ruchem ciał
materialnych bez uwzględniania przyczyn (sił) ten ruch wywołujących, czyli
kinematyka zajmuje się wyłącznie matematycznym opisem ruchu bez
uwzględniania praw fizycznych.
Ruchem mechanicznym ciała nazywamy zmianę jego położenia w czasie
względem innego ciała uważanego za nieruchome. Wynika z tego, że rozpatrując
ruch jakiegoś ciała, należy najpierw ustalić, względem jakiego innego ciała
będziemy go opisywać. Ciało, względem którego rozpatrujemy ruch, będziemy
uważać za nieruchome i nazwiemy je ciałem odniesienia. Dla analitycznego opisu
ruchu z ciałem tym możemy sztywno związać prostokątny układ współrzędnych,
który nazwiemy układem odniesienia. Wtedy położenie dowolnego punktu
w przestrzeni określimy za pomocą trzech współrzędnych prostokątnych.
Z powyższego wynika, że ruch jest pojęciem względnym i że jego charakter
będzie zależał od układu odniesienia, względem którego rozpatrujemy ruch ciała.
Najczęściej za nieruchomy układ odniesienia przyjmujemy milcząco układ
związany z Ziemią i względem niego badamy ruch innych ciał.
Jednak do badania np. ruchu kuli ziemskiej względem Słońca takie założenie nie
wystarczy i za układ nieruchomy należy przyjąć układ związany ze Słońcem.
Jak już mówiliśmy, w kinematyce będziemy się zajmować badaniem zmian
położenia ciał z upływem czasu. W mechanice klasycznej Newtona przyjmujemy,
że czas jest niezależny od wyboru układu odniesienia i że jest taki sam dla
wszystkich punktów przestrzeni i nie zależy od ich ruchu. Tak zdefiniowany czas
nazywamy czasem absolutnym, który w przybliżeniu odzwierciedla rzeczywisty
czas fizyczny. Jednak, jak wynika z mechaniki relatywistycznej, błąd związany z
takim przybliżeniem nie ma praktycznego znaczenia dla prędkości małych w
porównaniu z prędkością światła.
Ruch ciała będziemy uważali za znany, jeżeli potrafimy w każdej chwili czasu
określić położenie i ruch dowolnego punktu tego ciała. W pierwszej kolejności
zajmiemy się kinematyką punktu, a następnie bryły.
5.2.1. Tor, prędkość i przyśpieszenie punktu
Rozpatrzmy ruch punktu materialnego względem przyjętego układu odniesienia
uważanego za nieruchomy. Aby poznać ruch tego punktu, w każdej chwili musimy
mieć możliwość wyznaczenia miejsca, w którym się ten punkt znajduje. Do
określenia położenia dowolnego punktu M (rys. 5.1) w każdej chwili względem
nieruchomego punktu O wystarczy podanie wektora r o początku w punkcie O i
końcu w rozważanym punkcie M.
z
L
hodograf wektora
wodzącego
M
r
wektor
wodzący
O
y
x
Rys. 5.1. Opis położenia punktu za pomocą wektora wodzącego
Wektorową funkcję czasu
r = r( t )
(5.1)
nazywamy wektorem wodzącym. Wektor ten możemy zapisać analitycznie
w prostokątnym układzie współrzędnych x, y, z za pomocą jego współrzędnych
w postaci funkcji wektorowej:
r = r( t ) = x( t ) i + y( t ) j+ z( t ) k
(5.2)
lub równoważnych trzech równań skalarnych
x = x( t ), y = y( t ), z = z( t ) .
(5.3)
Równanie (5.1) lub
(…)
… przy omawianiu w następnych
punktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czyli
postępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego.
5.3.3. Ruch postępowy
Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno
związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia
początkowego.
Z powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′
przedstawionego na rys. 5.8 będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek.
Podobnie wektor r ′ = O ′M nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem
będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: r ′ = const, więc jego pochodna
we wzorze (5.30) będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły
wyraża zależność:
dr
v = O′ = v O′ .
(5.35)
dt
Po zróżniczkowaniu tego wzoru otrzymujemy przyśpieszenie.
a=
d 2 rO′
dt
2
=
d v O′
= a O′ .
dt
(5.36)
Ze wzorów (5.35) i (5.36) oraz definicji ruchu postępowego wynikają
następujące wnioski:
a) Wszystkie punkty bryły sztywnej w ruchu postępowym mają te same
prędkości v O ′ i przyśpieszenia a O′ w tej samej chwili czasu.
b) Tory wszystkich punktów bryły mają ten sam kształt.
c) Dla opisu ruchu postępowego bryły wystarczy podać równanie ruchu jednego
punktu…
…)
Po porównaniu ze wzorem (5.32) widzimy, że pierwsze dwa wyrazy w tym wzorze
przedstawiają prędkość punktu bryły znajdującego się w tym samym miejscu co
punkt M, zatem jest to prędkość unoszenia:
v u = v O′ + ω× r ′ .
(5.83)
Po uwzględnieniu tego oznaczenia we wzorze (5.82) zauważymy, że prędkość
bezwzględna v w ruchu złożonym punktu jest sumą prędkości unoszenia v u i
prędkości względnej v w :
v = vu + vw…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)