5.3.1. Zmiana układów odniesienia
Z każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch
tej bryły w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy
się zajmować głównie
z′
wzajemnym ruchem układów
z
współrzędnych. Znając ruch
układu współrzędnych
y′
j′
x ′, y ′ , z ′ (rys. 5.8) sztywno
k′
związanego z bryłą (układu
O′
r′
ruchomego) względem
nieruchomego układu
i′
rO′
M
odniesienia x, y, z, będziemy
k
r′
mogli obliczyć prędkość
O
i przyśpieszenie wszystkich
y
j
punktów bryły. W dalszej koi
lejności wyprowadzimy
x′
zależności geometryczne
x
pomiędzy tymi układami
współrzędnych.
Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami
współrzędnych
W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego
samego punktu M.
W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu
układów współrzędnych. Wersory i ′ , j′, k ′ ruchomego układu współrzędnych
x′, y′, z′
zapiszemy
w
układzie
nieruchomym
x,
y,
z:
i ′ = (i ′⋅ i ) i + (i ′⋅ j) j+ (i ′⋅ k ) k .
(a)
Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora i ′
odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią
x ′ a osiami x, y, z, które oznaczymy p x ′x , p x ′y , p x ′z :
i ′⋅ i = cos(x ′, x ) = p x′x , ⎫
⎪
i ′⋅ j = cos(x ′, y ) = p x′y , ⎬
i ′⋅ k = cos(x ′, z ) = p x ′z .⎪
⎭
(b)
Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie
z wersorami j′ i k ′ otrzymamy wzory:
i ′ = p x ′x i + p x′y j+ p x′z k , ⎫
⎪
j′ = p y′x i + p y′y j+ p y′z k , ⎬
k ′ = p z′x i + p z′y j+ p z′z k .⎪
⎭
(5.23)
Widzimy, że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w
układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych
zestawionych w poniższej tabeli.
x′
y′
z′
i′
j′
k′
x
i
px′x
py′x
pz′x
y
j
px′y
py′y
pz′y
z
k
px′z
py′z
pz′z
Między tymi dziewięcioma kosinusami kierunkowymi istnieje sześć zależności.
Otrzymamy je ze wzorów na iloczyny skalarne wersorów (2.16).
⎫
⎪
⎪
⎪
⎪
⎬
i ′⋅ j′ = p x′x p y′x + p x ′y p y′y + p x ′z p y′z = 0, ⎪
j′⋅ k ′ = p y′x p z′x + p y′y p z′y + p y′z p z′z = 0,⎪
⎪
k ′⋅ i ′ = p z′x p x ′x + p z′y p x ′y + p z′z p x′z = 0.⎪
⎭
i ′⋅ i ′ = p 2 ′x + p 2 ′y + p 2 ′z = 1,
x
x
x
2
2
j′⋅ j′ = p y′x + p y′y + p 2′z = 1,
y
2
2
k ′⋅ k ′ = p z′x + p z′y + p z′z = 1,
(5.24)
Dla wyznaczenia położenia układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′ względem układu x,
y, z wystarczy podać 6 wielkości:
a) trzy współrzędne wektora r O ′ ( x O ′ , y O ′ , z O ′ ) ,
b) trzy niezależne kosinusy kierunkowe.
Obecnie wyznaczymy współrzędne wektora wodzącego r punktu M w układzie
x, y, z. Z rysunku 5.8 widzimy, że wektor wodzący r tego punktu możemy zapisać
jako sumę dwóch wektorów:
r = rO′ + r ′ .
(5.25)
Wektor rO′ jest wektorem łączącym początki obu układów współrzędnych.
Zapiszemy go analitycznie w układzie współrzędnych x, y, z:
rO′ = x O′ i + y O′ j+ z O′ k .
(5.26)
Wektor r ′ jest wektorem wodzącym punktu M w układzie x ′, y ′ , z ′ . Można go
wyrazić za pomocą
(…)
…, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest
równa sumie prędkości v O ′ dowolnie obranego bieguna O ′ , przyjętego za
początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego ω× r ′
prędkości kątowej ω i promienia wodzącego r ′ punktu M w ruchomym układzie
współrzędnych.
Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:
a) Prędkość punktu O ′ zależy od wyboru tego punktu.
b…
… przyśpieszenia początku O ′ ruchomego układu współrzędnych
przez
a O′ =
d v O′
dt
(g)
oraz przyśpieszenia kątowego przez
ε=
dω
dt
(h)
i wykorzystaniu wzoru (e) wzór (f) przyjmie końcową postać:
a = a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′) .
(5.33)
Wzór ten można przedstawić w nieco innej postaci po rozpisaniu występującego
w nim podwójnego iloczynu wektorowego zgodnie z zależnością (2.34):
a = a O′ + ε× r ′+ ω(ω⋅ r ′) − ω 2…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)