5.3.1. Zmiana układów odniesienia Z każdą bryłą sztywną możemy związać układ współrzędnych opisujący ruch tej bryły w przestrzeni. Dlatego w dalszym ciągu w kinematyce bryły będziemy się zajmować głównie wzajemnym ruchem układów współrzędnych. Znając ruch układu współrzędnych ′ ′ ′ x y z , , (rys. 5.8) sztywno związanego z bryłą (układu ruchomego) względem nieruchomego układu odniesienia x, y, z, będziemy mogli obliczyć prędkość i przyśpieszenie wszystkich punktów bryły. W dalszej ko- lejności wyprowadzimy zależności geometryczne pomiędzy tymi układami współrzędnych. y i z x ′ z ′ y ′ x r O′ r ′ r ′ M i ′ j ′ k ′ O ′ j k O Rys. 5.8. Wyznaczenie zależności pomiędzy układami współrzędnych W tym celu ustalmy zależności pomiędzy współrzędnymi w obu układach tego samego punktu M. W pierwszej kolejności rozpatrzmy zależności pomiędzy wersorami obu układów współrzędnych. Wersory ′ ′ ′ i j k , , ruchomego układu współrzędnych zapiszemy w układzie nieruchomym x, y, z: ′ ′ ′ x y z , , ( ) ( ) ( ) k k i j j i i i i i ⋅′ + ⋅′ + ⋅′ = ′ . (a) Zawarte w nawiasach iloczyny skalarne wersorów są rzutami wersora odpowiednio na osie x, y, z, są one również kosinusami kierunkowymi między osią a osiami x, y, z, które oznaczymy : ′ i ′ x p p p x x x y x z ′ ′ , , ′ ( ) ( ) ( ) ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ = ′ = ⋅′ = ′ = ⋅′ = ′ = ⋅′ ′ ′ ′ . p z , x cos , p y , x cos , p x , x cos z x y x x x k i j i i i (b) Podstawiwszy powyższe oznaczenia do wzoru (a) oraz postąpiwszy podobnie z wersorami ′ ′ j k i otrzymamy wzory: ⎪ ⎭ ⎪ ⎬ ⎫ + + = ′ + + = ′ + + = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ . p p p , p p p , p p p z z y z x z z y y y x y z x y x x x k j i k k j i j k j i i (5.23) Widzimy, że do zapisania wersorów ruchomego układu współrzędnych w układzie nieruchomym należy znać dziewięć kosinusów kierunkowych zestawionych w poniższej tabeli. x y z i j k x ′ i ′ px′x px′y px′z y ′ j ′ py′x py′y
(…)
…, że prędkość dowolnego punktu M bryły jest
równa sumie prędkości v O ′ dowolnie obranego bieguna O ′ , przyjętego za
początek ruchomego układu współrzędnych, oraz iloczynu wektorowego ω× r ′
prędkości kątowej ω i promienia wodzącego r ′ punktu M w ruchomym układzie
współrzędnych.
Na podstawie wzoru (5.32) możemy ponadto sformułować następujące wnioski:
a) Prędkość punktu O ′ zależy od wyboru tego punktu.
b…
… i przyśpieszenie dowolnego
punktu bryły w ruchu ogólnym wykorzystamy przy omawianiu w następnych
punktach tego rozdziału szczególnych przypadków ruchu ogólnego bryły, czyli
postępowego, obrotowego, śrubowego, płaskiego i kulistego.
5.3.3. Ruch postępowy
Ruch bryły sztywnej nazywamy postępowym, jeżeli dowolna prosta sztywno
związana z bryłą pozostaje w czasie ruchu stale równoległa do położenia
początkowego.
Z powyższej definicji wynika, że każda z osi układu współrzędnych x ′, y ′ , z ′
przedstawionego na rys. 5.8 będzie miała w ruchu postępowym ten sam kierunek.
Podobnie wektor r ′ = O ′M nie zmieni w czasie ruchu swojego kierunku, zatem
będzie on wektorem stałym niezależnym od czasu: r ′ = const, więc jego pochodna
we wzorze (5.30) będzie równa zeru. Stąd prędkość dowolnego punktu bryły
wyraża zależność:
dr
v…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)