5.4.1. Ruch unoszenia, względny i bezwzględny
Przy omawianiu ruchu punktu lub bryły zakładaliśmy, że punkt lub bryła
poruszały się względem układu odniesienia x, y, z uważanego za nieruchomy.
Można rozpatrzyć taki
z′
przypadek, że wspomniany
z
układ odniesienia będzie się
y′
poruszał względem innego
układu, uważanego wtedy za
nieruchomy. Wówczas ruch
O′
r′
punktu lub bryły nazywamy
ruchem złożonym.
M
rO′
Ruch punktu lub bryły
L
r
względem układu
Lw
O
nieruchomego nazywamy
y
ruchem bezwzględnym, a ruch
tego samego punktu lub bryły
x′
x
względem układu ruchomego
ruchem względnym.
Rys. 5.24. Ruch złożony punktu
Ruch ruchomego układu odniesienia względem nieruchomego nazywamy ruchem
unoszenia.
W dalszej części rozpatrzymy jedynie ruch złożony punktu. Niech punkt M
porusza się w sposób dowolny, nie związany ani z nieruchomym układem
odniesienia x, y, z, ani z ruchomym x ′, y ′, z ′ (rys. 5.24). Jeżeli ruch tego punktu
będzie obserwowany przez dwóch obserwatorów − jednego związanego z układem
nieruchomym x, y, z, a drugiego związanego z układem ruchomym x ′ , y ′ , z ′ − to
każdy z obserwatorów będzie „widział” ruch punktu M w inny sposób (inny tor,
prędkość, przyśpieszenie).
Tor, jaki zakreśli punkt M w układzie nieruchomym, nazywamy torem
bezwzględnym L, a w układzie ruchomym torem względnym Lw. Każdy z punktów
toru względnego, zatem i punkt znajdujący się w tym samym miejscu co punkt M,
zakreśli pewien tor Lu. Ruch tego punktu względem układu nieruchomego
nazywamy ruchem unoszenia punktu M w rozważanej chwili.
5.4.2. Prędkość i przyśpieszenie w ruchu złożonym punktu
W celu wyprowadzenia wzorów na prędkość i przyśpieszenie punktu M
postąpimy podobnie jak podczas rozpatrywania kinematyki dowolnego punktu
bryły w ruchu ogólnym, ale teraz punkt ten będzie się poruszał względem bryły.
Zatem wektor wodzący r ′ punktu M w układzie ruchomym x ′ , y ′ , z ′ nie będzie
stały, będzie się zmieniał zarówno jego kierunek, jak i moduł:
r ′ = r ′ ≠ const .
(a)
Wektor wodzący punktu M, zgodnie z rys. 5.24, jest sumą dwóch wektorów:
r = rO′ + r ′ .
(5.76)
Podobnie jak w ruchu ogólnym bryły (p. 5.3.2) wektor rO′ jest wektorem
łączącym początki obu układów współrzędnych. Zapiszemy go analitycznie w
nieruchomym układzie współrzędnych x, y, z:
rO′ = x O′ i + y O′ j+ z O′ k .
(5.77)
Wektor r ′ jest wektorem wodzącym punktu M w układzie x ′ , y ′ , z ′ . Można
go wyrazić za pomocą współrzędnych w tym układzie:
r ′ = x ′ i ′+ y ′ j′+ z′ k ′ .
(5.78)
Współrzędne tego wektora na podstawie wzoru (a) będą się zmieniać wraz z
ruchem punktu M względem układu ruchomego x ′ , y ′ , z ′ . Można je zatem zapisać
w postaci funkcji czasu, które będą równaniami ruchu względnego punktu M:
x ′ = x ′ ( t ), y ′ = y ′ ( t ), z ′ = z ′ ( t ) .
(5.79)
Prędkość punktu M jest pochodną wektora wodzącego (5.76) względem czasu:
v=
d rO′ d r ′
+
.
dt
dt
(5.80)
Pochodna wektora rO′ jest znaną z p. 5.3.2 prędkością początku O ′ ruchomego
układu współrzędnych:
dr
dx
dy
dz
(b)
v O ′
(…)
… a u :
a u = a O′ + ε× r ′+ ω× (ω× r ′) .
(5.87)
Z kolei podwojony iloczyn wektorowy prędkości kątowej
i prędkości względnej
v w jest przyśpieszeniem znanym jako przyśpieszenie Coriolisa:
a C = 2 ω× v w .
(5.88)
Tak więc przyśpieszenie bezwzględne a punktu M w ruchu złożonym jest
równe sumie trzech przyśpieszeń: unoszenia a u , względnego a w i Coriolisa a C :
a = au + aw + aC .
(5.89)
Przyśpieszenie Coriolisa jest dodatkowym przyśpieszeniem wynikającym z
ruchu obrotowego układu unoszenia. Można udowodnić [9], że jest ono wywołane
zmianą wektora prędkości względnej v w wskutek jego obrotu z prędkością kątową
oraz zmianą wektora prędkości unoszenia v u spowodowaną przemieszczaniem
się punktu M z prędkością względną v w .
Z własności iloczynu wektorowego wynika, że przyśpieszenie Coriolisa będzie
równe zeru w trzech przypadkach:
a) gdy ω = 0, wtedy ruch unoszenia jest ruchem postępowym,
b) gdy wektory prędkości kątowej ω i prędkości względnej v w punktu M są
równoległe,
c) gdy prędkość względna v w punktu M w pewnej chwili jest równa zeru.
W zagadnieniach technicznych najczęściej przyjmujemy, że układ odniesienia
związany z Ziemią jest nieruchomy. Tym samym pomijamy przyśpieszenie
Coriolisa działające na obiekty…
… t ,
3
3
gdzie ω jest wartością prędkości kątowej rurki:
ω=
[ ]
dϕ
= 10 − 2t s −1 .
dt
Wartość prędkości względnej punktu M
vw =
ds
π
π
π
= 15 ⋅ cos t = 5πcos t .
dt
3
3
3
Wektory prędkości unoszenia i prędkości względnej zaznaczono na rys. 5.25b
przedstawiającym rurkę w rzucie z góry. Dla czasu t 1 = 1 s otrzymujemy:
v u = (150 − 30)sin
v w = 5πcos
π
= 60 3 = 103,9 cm / s,
3
π
= 2,5π = 7,85 cm / s…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)