To tylko jedna z 22 stron tej notatki. Zaloguj się aby zobaczyć ten dokument.
Zobacz
całą notatkę
WYKŁAD 9
INTERPOLACJA WIELOMIANOWA
INTERPOLACJA – POJĘCIA PODSTAWOWE
W ograniczonym przedziale [ a , b] rozpatrzmy ciąg punktów:
a = x0 j
(5)
Wyznacznik podstawowy tego układu równań
n
... x0
1
tak więc układ równań (5) ma dokładnie jedno rozwiązanie, które przyjmujemy jako współczynniki
szukanego wielomianu interpolacyjnego (4).
Wyznaczanie w opisany sposób wielomianów interpolacyjnych nie jest jednak zadaniem łatwym
ze względu na złe uwarunkowanie zadania, wynikające z nie-korzystnej akumulacji błędów oraz du y
koszt obliczeń spowodowany koniecznością rozwiązywania układu równań liniowych.
Przed przedstawieniem w następnych rozdziałach innych postaci wielomianów i funkcji interpolujących
podamy ogólniejsze sformułowanie zadania interpolacji, opierające się na przyjęciu liniowoniezale nego układu funkcji
ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), ..., ϕ n ( x ),
(6)
określonych na ograniczonym lub nieograniczonym przedziale [ a , b]. Nale y zna-leźć takie współczynniki
a0 , a1 , ..., an ,
(7)
których kombinacja liniowa z funkcjami (6) spełnia warunki interpolacji (3)
a0 ϕ0 ( xi ) + a1 ϕ1 ( xi ) + ... + an ϕ n ( xi
(…)
… równań ró niczkowych otrzymuje się wprost ze wzorów interpolacyjnych.
Zale nie od postaci funkcji interpolującej sformułowane zadanie interpolacji mo e mieć dokładnie jedno
rozwiązanie, mo e nie mieć rozwiązań albo mieć ich nieskończenie wiele.
W przypadku wielomianu
2
Pn ( x ) = a0 + a1 x + a 2 x + ... + a n x
n
(4)
z warunków interpolacji (3) otrzymujemy następujący układ równań liniowych:
2
n
a0 + a1…
… układu równań liniowych.
Przed przedstawieniem w następnych rozdziałach innych postaci wielomianów i funkcji interpolujących
podamy ogólniejsze sformułowanie zadania interpolacji, opierające się na przyjęciu liniowoniezale nego układu funkcji
ϕ 0 ( x ), ϕ 1 ( x ), ..., ϕ n ( x ),
(6)
określonych na ograniczonym lub nieograniczonym przedziale [ a , b]. Nale y zna-leźć takie współczynniki
a0 , a1…
… funkcji (6) stanowi zbiór
wielomianów postaci
li ( x ) =
n
x − xj
∏x
j=0
( j ≠i)
i
− xj
(i = 0, 1, ..., n).
(10)
Są to wielomiany stopnia n takie, e
1 dla i = j ,
li ( x j ) = δ i j =
0 dla i ≠ j.
(11)
Macierz charakterystyczna układu równań (8) jest więc macierzą jednostkową i wynika stąd,
e wielomian
n
n
n
i =0
i=0
j =0
( j ≠ i)
Ln ( x) = ∑ yi li ( x) = ∑ yi ∏
x − xj
xi − x j
(12…
... zobacz całą notatkę
Komentarze użytkowników (0)